Атлас (топология)

Отпатрулированная версия этой страницы, проверенная 6 августа 2010, была основана на этой версии.

Карта и атлас — понятия дифференциальной геометрии, позволяющие ввести на многообразии гладкую структуру.

Определения

Пусть $K$ — числовое поле (например $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$ ), $X$ — топологическое пространство.

U

X

f

U

K^{n}

Если области определения двух карт $\,(U_{1},f_{1})$ и $\,(U_{2},f_{2})$ пересекаются ( $U_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset$ ), то между множествами $f_{1}^{-1}(U_{2})$ и $f_{2}^{-1}(U_{1})$ имеются взаимно обратные отображения (гомоморфизмы), называемые функциями сличения или отображением склейки :
${\begin{matrix}f_{12}=f_{1}\circ f_{2}^{-1}|_{f_{2}(U_{1}\cap U_{2})}&:\ f_{2}(U_{1}\cap U_{2})\to f_{1}(U_{1}\cap U_{2})\\f_{21}=f_{2}\circ f_{1}^{-1}|_{f_{1}(U_{1}\cap U_{2})}&:\ f_{1}(U_{1}\cap U_{2})\to f_{2}(U_{1}\cap U_{2})\end{matrix}}$

Две карты $\,(U_{1},f_{1})$ и $\,(U_{2},f_{2})$ называются согласованными, если функции замены координат $\,f_{12}$ и $\,f_{21}$ являются гладкими или аналитическими (в зависимости от контекста).

Атлас — это множество согласованных карт $\,\{(U_{\alpha },f_{\alpha })\}$ , $\alpha \in {\mathcal {A}}$ , такое, что $\,\{U_{\alpha }\}$ образует покрытие пространства $X$ . Здесь ${\mathcal {A}}$ — некоторое множество индексов. При этом атлас называется гладким (класса $\,C^{k}$ ) или аналитическим, если функции замены координат $\,f_{\alpha _{1}\,\alpha _{2}}$ для всех карт гладкие (класса $\,C^{k}$ ) или аналитические.