Участник:Черный Дракон/Песочница

Пусть $f(x)=\alpha e^{\beta x}$

Тогда $f^{(n)}(x)=\alpha \beta ^{n}e^{\beta x}$

И решением уравнения $f(x)=f^{(n)}(x)$ будут функции $\alpha e^{\beta x}$ (а также их суммы), для которых $\beta ^{n}=1$ , т.е. $\beta =\cos {\frac {2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {2\pi k}{n}},\quad k=0,1,...,n-1$

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \left (f(x)=f^{(n)}(x)\right)\Rightarrow\left(f(x)=\sum_{k=0}^{n-1}\alpha_k e^{\cos \frac{2\pi k}{n}+i\sin\frac{2\pi k}{n}}\right)}

Для n=1:

\alpha e^{x}

Для n=2:

\alpha e^{x},\alpha e^{-x}

\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}

, т.е. гиперболический синус это сумма решений для n=2

\left({\frac {1}{2}}e^{x},-{\frac {1}{2}}e^{-x}\right)

, а значит

\sinh ''x=\sinh x

Для n=4:

\alpha e^{x},\alpha e^{-x},\alpha e^{ix},\alpha e^{-ix}

\sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}

, т.е. синус это сумма решений для n=4

\left({\frac {1}{2i}}e^{i}x,-{\frac {1}{2i}}e^{-ix}\right)

, следовательно

\sin ^{(4)}x=\sin x

Остается только доказать, что функции вида $\alpha e^{\beta x},\beta ^{n}=1$ (и их суммы) являются единственными решениями уравнений $f^{(n)}(x)=f(x)$