Алгебра над кольцом

Пусть $K\displaystyle$ — произвольное коммутативное кольцо с единицей. Кольцо $A\displaystyle$ (не обязательно ассоциативное) называется алгеброй над $K\displaystyle$ или $K\displaystyle$ -алгеброй, если для любых элементов $k\in K$ , $a\in A$ однозначно определено произведение $ka\in A$ , причем для всех $k,\;l\in K$ и $a,\;b\in A$ справедливы соотношения

$(k+l)a=ka+la\displaystyle$
$k(a+b)=ka+kb\displaystyle$
$k(la)=(kl)a\displaystyle$
$k(ab)=(ka)b=a(kb)\displaystyle$
$1a=a\displaystyle$ , где $1\displaystyle$ — единица кольца $K\displaystyle$

Для $a\displaystyle$ , $b\in A$ коммутатор определён равенством

[a,b]=ab-ba\displaystyle

$K\displaystyle$ -алгебра называется коммутативной, если

[a,b]=0\displaystyle

Для $a\displaystyle$ , $b\displaystyle$ , $c\in A$ ассоциатор определён равенством

(a,b,c)=(ab)c-a(bc)\displaystyle

$K\displaystyle$ -алгебра называется ассоциативной, если

(a,b,c)=0\displaystyle

Если существует элемент $e\in A\displaystyle$ такой, что $ea=ae=a\displaystyle$ для всех $a\in A$ , то $e\displaystyle$ называется единицей алгебры $A\displaystyle$ , а сама алгебра называется алгеброй с единицей.

Иногда алгебра определяется и над некоммутативными кольцами, в этом случае вместо условия 4 требуют более слабое:

k(ab)=(ka)b\displaystyle

Любое кольцо можно считать алгеброй над кольцом целых чисел, если понимать произведение $na\displaystyle$ (где $n\displaystyle$ — целое число) обычно, то есть как сумму $n\displaystyle$ копий $a\displaystyle$ . Поэтому, кольца можно рассматривать как частный случай алгебр.

Алгебра над полем

Если $K$ является полем, то, по определению, $K$ -алгебра является векторным пространством над $K$ , а значит, имеет базис. Это дает возможность строить алгебры над полем по базису, для чего достаточно задать таблицу умножения базисных элементов. Однако, такой подход удобен только для конечномерных алгебр.

Свойства

Из алгебры многочленов (от достаточно большого числа переменных) над полем $K$ можно получить, в качестве гомоморфного образа, любую ассоциативно-коммутативную алгебру над $K$ .

Отображение алгебры

Мы можем рассматривать алгебру $A\displaystyle$ над коммутативным кольцом $K\displaystyle$ как модуль $A\displaystyle$ над коммутативным кольцом $K\displaystyle$ . Отображение

f:A\rightarrow B

алгебры $A\displaystyle$ над коммутативным кольцом $K\displaystyle$ в алгебру $B\displaystyle$ над кольцом $K\displaystyle$ называется линейным, если

f(a+b)=f(a)+f(b)\displaystyle

f(ka)=kf(a)\displaystyle

для любых $a\displaystyle$ , $b\in A$ , $k\in K$ . Множество линейных отображений алгебры $A\displaystyle$ в алгебру $B\displaystyle$ обозначается символом ${\mathcal {L}}(A;B)$ .