Логарифм

Рис. 1. Графики логарифмических функций

Логарифм числа $b$ по основанию $a$ (от греч. λόγος — «слово», «отношение» и ἀριθμός — «число») определяется как показатель степени, в которую надо возвести основание a, чтобы получить число b. Обозначение: $\log _{a}b\,$. Из определения следует, что записи $\log _{a}b=x\,$ и $a^{x}=b\,\!$ равносильны.

Например, $\log _{2}8=3\,$, потому что $2^{3}=8\,\!$.

Вещественный логарифм

Логарифм вещественного числа $\log _{a}b$ имеет смысл при $a>0,a\neq 1,b>0$.

Наиболее широкое применение нашли следующие виды логарифмов.

• Натуральные: $\ln \,a$, основание: 10 (число Эйлера).
• Десятичные: $\lg \,a$, основание: e
• Двоичные: $\log _{2}\,a$ или $\operatorname {lb} \,a$, основание: число 2. Они применяются в теории информации и информатике.

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим логарифмическую функцию, например: $y=\ln \,x$. Эта функция определена в правой части числовой прямой: $x>0$, непрерывна и дифференцируема там (см. рис. 1).

Свойства

• Основное логарифмическое тождество: $a^{\log _{a}b}=b$
• $\log _{a}a=1;\;\log _{a}1=0$
• $\log _{a}(bc)\ =\log _{a}|b|+\log _{a}|c|\quad (bc>0)$

Доказательство

Докажем, что $a^{\log _{a}|b|+\log _{a}|c|}=bc$.

$a^{\log _{a}|b|+\log _{a}|c|}=a^{\log _{a}|b|}\cdot a^{\log _{a}|c|}=|b|\cdot |c|=|b\cdot c|=bc$   (так как по условию bc > 0). ■

• $\log _{a}{\frac {b}{c}}=\log _{a}|b|-\log _{a}|c|\quad \left({\frac {b}{c}}>0\right)$

Доказательство

Докажем, что $a^{\log _{a}|b|-\log _{a}|c|}={\frac {b}{c}}$

$a^{\log _{a}|b|-\log _{a}|c|}={\frac {a^{\log _{a}|b|}}{a^{\log _{a}|c|}}}={\frac {|b|}{|c|}}=\left|{\frac {b}{c}}\right|={\frac {b}{c}}$   (так как по условию ${\frac {b}{c}}>0)$ ■

• $\log _{a}(b^{p})=p\ \log _{a}|b|\quad (b^{p}>0)$

Доказательство

Докажем, что $a^{p\ \log _{a}|b|}=b^{p}$.

$a^{p\ \log _{a}|b|}=\left(a^{\log _{a}|b|}\right)^{p}=|b|^{p}=\left|b^{p}\right|=b^{p}$    (так как $b^{p}>0$ по условию). ■

• $\log _{a^{k}}b={\frac {1}{k}}\log _{a}b$

Доказательство

Докажем, что $(a^{k})^{{\frac {1}{k}}\log _{a}b}=b$

$(a^{k})^{{\frac {1}{k}}\log _{a}b}=a^{k\cdot {\frac {1}{k}}\log _{a}b}=a^{\log _{a}b}=b$ ■

• ${\log _{a^{q}}{b}}^{p}={\frac {p}{q}}\log _{a}{b}$
• $\log _{a^{k}}b^{k}=\log _{a}b$
• $\log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}$(замена основания логарифма)

Доказательство

Используем для доказательства тождество $a^{\log _{a}b}=b$. Логарифмируем обе части тождества по основанию c. Получаем:

$\log _{c}a^{\log _{a}b}=\log _{c}b\Leftrightarrow \log _{a}b\cdot \log _{c}a=log_{c}b\Leftrightarrow \log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}$ ■

• $\log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}$
• $a^{log_{c}d}=d^{log_{c}a}$

Доказательство

Логарифмируем левую и правую части по основанию $c$:

Левая часть: $\log _{c}d\cdot \log _{c}a$

Правая часть: $\log _{c}a\cdot \log _{c}d$

Равенство выражений очевидно. Т. к. логарифмы равны, то в силу монотонности логарифмической функции равны и сами выражения. ■

Натуральные логарифмы

Для производной натурального логарифма справедлива простая формула:

$(\ln x)'={\frac {1}{x}}$

По этой причине в математических исследованиях преимущественно используют именно натуральные логарифмы. Они нередко появляются при решении дифференциальных уравнений, исследовании статистических зависимостей (например, распределения простых чисел) и т. п.

При $-1<x\leqslant 1$ справедливо равенство

$\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\dots$ ((1))

В частности,

$\ln 2=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\dots$

Формула (1) не имеет большой практической ценности из-за того, что ряд очень медленно сходится и значение $x$ ограничено весьма узким диапазоном. Однако нетрудно получить из неё более удобную формулу:

$\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)=2\left(x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\dots \right)$ ((2))

Этот ряд сходится быстрее, а кроме того, левая часть формулы теперь может выразить логарифм любого положительного числа.

Связь с десятичным логарифмом: $\ln x\approx 2{,}30259\ \lg x;\ \ \lg x\approx 0{,}43429\ \ln x$.

Десятичные логарифмы

Рис. 2. Логарифмическая шкала

Логарифмы по основанию 10 (обозначение: lg a) до изобретения калькуляторов широко применялись для вычислений. Неравномерная шкала десятичных логарифмов обычно наносится и на логарифмические линейки. Подобная шкала используется во многих областях науки, например:

• Физика — интенсивность звука (децибелы).
• Астрономия — шкала яркости звёзд.
• Химия — активность водородных ионов (pH).
• Сейсмология — шкала Рихтера.
• Теория музыки — нотная шкала, по отношению к частотам нотных звуков.
• История — логарифмическая шкала времени.

Логарифмическая шкала также широко применяется для выявления показателя степени в степенных зависимостях и коэффициента в показателе экспоненты. При этом график, построенный в логарифмическом масштабе по одной или двум осям, принимает вид прямой, более простой для исследования.

Логарифмическая функция

Логарифмической функцией называется функция вида $f(x)=\log _{a}x$, определённая при $a\in (0;1)\cup (1;+\infty ),x>0$

Исследование логарифмической функции

Область определения: $D(y)=(0;+\infty )$

Область значения: $E(y)=(-\infty ;+\infty )$

График любой логарифмической функции проходит через точку $(1;0)$

Производная логарифмической функции равна:

• ${\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}$
• ${\frac {d}{dx}}\log _{a}x={\frac {1}{x\cdot \ln a}}$

Доказательство

I. Докажем, что $(\ln x)'={\frac {1}{x}}$

Запишем тождество $e^{\ln x}=x$ и продифференцируем его левую и правую части

Получаем, что $e^{\ln x}\cdot (\ln x)'=1$, откуда следует, что $(\ln x)'={\frac {1}{e^{\ln x}}}={\frac {1}{x}}$

II. Докажем, что $\log _{a}x={\frac {1}{x\cdot \ln a}}$

$(\log _{a}x)'=({\frac {\ln x}{\ln a}})'={\frac {1}{\ln a}}(\ln x)'={\frac {1}{x\cdot \ln a}}$ ■

Функция является строго возрастающей при $a>1$ и строго убывающей при $0<a<1$

Прямая $x=0$ является левой вертикальной асимптотой, поскольку $\lim _{x\to 0+0}\log _{a}x=-\infty$ при $a>1$ и $\lim _{x\to 0+0}\log _{a}x=+\infty$ при $0<a<1$

Комплексный логарифм

Многозначная функция

Для комплексных чисел логарифм определяется так же, как вещественный. Начнём с натурального логарифма, который обозначим $\mathrm {Ln} \,w$ и определим как множество всех комплексных чисел $z$ таких, что $e^{z}=w$. Комплексный логарифм существует для любого $w\neq 0$, и его вещественная часть определяется однозначно, в то время как мнимая имеет бесконечное множество значений. По этой причине его называют многозначной функцией. Если представить $w$ в показательной форме:

$w=r\cdot e^{i\varphi }$,

то логарифм $\mathrm {Ln} \,w$ находится по формуле:

$\mathrm {Ln} \,w=\{\ln r+i\left(\varphi +2\pi k\right),\,k\in \mathbb {Z} \}.$

Здесь $\ln \,r$ — вещественный логарифм, $r=|w|$, $k$ — произвольное целое число. Значение, получаемое при $k=0$, называется главным значением комплексного натурального логарифма; принято брать в нём значение аргумента $\varphi$ в интервале $(-\pi ,\pi ]$. Соответствующая (уже однозначная) функция называется главной ветвью логарифма и обозначается $\ln \,z$. Иногда через $\ln \,z$ также обозначают значение логарифма, лежащее не на главной ветви.

Из формулы следует:

• Вещественная часть логарифма определяется по формуле:

$\operatorname {Re} (\ln(x+iy))={\frac {1}{2}}\ln(x^{2}+y^{2})$

• Логарифм отрицательного числа находится по формуле:

$\ln(-x)=\ln x+i\pi (2k+1)\qquad (x>0,\ k=0,\pm 1,\pm 2\dots )$

Примеры (приведено главное значение логарифма):

• $~\ln(-1)=i\pi$
• $\ln(i)=i{\frac {\pi }{2}}$
• $\ln(-i)=-i{\frac {\pi }{2}}$

Аналогично рассматриваются комплексные логарифмы с другим основанием. Следует, однако, быть осторожным при преобразованиях комплексных логарифмов, принимая во внимание, что они многозначны, и поэтому из равенства логарифмов каких-либо выражений не следует равенство этих выражений. Пример ошибочного рассуждения:

$i\pi =\ln(-1)=\ln((-i)^{2})=2\ln(-i)=2(-i\pi /2)=-i\pi$ — явная нелепость.

Отметим, что слева стоит главное значение логарифма, а справа — значение из нижележащей ветви ($k=-1$). Причина ошибки — неосторожное использования свойства $\log _{a}{(b^{p})}=p~\log _{a}b$, которое, вообще говоря, подразумевает в комплексном случае весь бесконечный набор значений логарифма, а не только главное значение.

Аналитическое продолжение

Рис. 3. Комплексный логарифм (мнимая часть)

Логарифм комплексного числа также может быть определён как аналитическое продолжение вещественного логарифма на всю комплексную плоскость. В явном виде продолжение логарифма вдоль кривой $\Gamma$, не проходящей через 0, можно осуществить по формуле (соответствующую функцию также обозначаем $\ln$)

$\ln z=\int \limits _{\Gamma }{dz \over z}$

При этом, если $\Gamma$ — простая кривая (без самопересечений), то для чисел, лежащих на ней, логарифмические тождества можно применять без опасений, например

$\ln(wz)=\ln w+\ln z,~\forall z,w\in \Gamma \colon zw\in \Gamma$

Из формулы аналитического продолжения следует, что на любой ветви логарифма

$\ln 'z={1 \over z}$

Для любой окружности $S$, охватывающей точку $0$:

$\oint \limits _{S}{dz \over z}=2\pi i$

Интеграл берётся в положительном направлении (против часовой стрелки). Это тождество лежит в основе теории вычетов.

Риманова поверхность

Комплексная логарифмическая функция — пример римановой поверхности; её мнимая часть (рис. 3) состоит из бесконечного числа ветвей, закрученных в виде спирали. Эта поверхность односвязна; её единственный нуль (первого порядка) получается при $z=1$, особые точки: $z=0$ и $z=\infty$ (точки разветвления бесконечного порядка).

Риманова поверхность логарифма является универсальной накрывающей для комплексной плоскости без точки $0$.

Исторический очерк

Вещественный логарифм

Потребность в сложных расчётах в XVI веке быстро росла, и значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел. В конце века нескольким математикам, почти одновременно, пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной. Тогда и деление автоматически заменяется на неизмеримо более простое и надёжное вычитание, а извлечение корня степени n сводится к делению логарифма подкоренного выражения на n. Первым эту идею опубликовал в своей книге «Arithmetica integra» Михаэль Штифель, который, впрочем, не приложил серьёзных усилий для реализации своей идеи.

В 1614 году шотландский математик-любитель Джон Непер опубликовал на латинском языке сочинение под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов». В нём было краткое описание логарифмов и их свойств, а также 8-значные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов, с шагом 1'. Термин логарифм, предложенный Непером, утвердился в науке.

Понятия функции тогда ещё не было, и Непер определил логарифм кинематически, сопоставив равномерное и логарифмически-замедленное движение. В современной записи модель Непера можно изобразить дифференциальным уравнением: dx/x = -dy/M, где M — масштабный множитель, введённый для того, чтобы значение получилось целым числом с нужным количеством знаков (десятичные дроби тогда ещё не нашли широкого применения). Непер взял M = 10000000.

Строго говоря, Непер табулировал не ту функцию, которая сейчас называется логарифмом. Если обозначить его функцию LogNap(x), то она связана с натуральным логарифмом следующим образом:

$\operatorname {LogNap} (x)=M\cdot (\ln(M)-\ln(x))$

Очевидно, LogNap(M) = 0, то есть логарифм «полного синуса» есть нуль — этого и добивался Непер своим определением. LogNap(0) = ∞.

Основное свойство логарифма Непера: если величины образуют геометрическую прогрессию, то их логарифмы образуют прогрессию арифметическую. Однако правила логарифмирования для неперовой функции отличались от правил для современного логарифма.

Например, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) — LogNap(1).

К сожалению, все значения таблицы Непера содержали вычислительную ошибку после шестого знака. Однако это не помешало новой методике вычислений получить широчайшую популярность, и составлением логарифмических таблиц занялись многие европейские математики, включая Кеплера.

В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку, до появления карманных калькуляторов — незаменимый инструмент инженера.

Близкое к современному понимание логарифмирования — как операции, обратной возведению в степень — впервые появилось у Валлиса и Иоганна Бернулли, а окончательно было узаконено Эйлером в XVIII веке. В книге «Введение в анализ бесконечных» (1748) Эйлер дал современные определения как показательной, так и логарифмической функций, привёл разложение их в степенные ряды, особо отметил роль натурального логарифма.

Эйлеру принадлежит и заслуга распространения логарифмической функции на комплексную область.

Комплексный логарифм

Первые попытки распространить логарифмы на комплексные числа предпринимали на рубеже XVII—XVIII веков Лейбниц и Иоганн Бернулли, однако создать целостную теорию им не удалось — в первую очередь по той причине, что тогда ещё не было ясно определено само понятие логарифма. Дискуссия по этому поводу велась сначала между Лейбницем и Бернулли, а в середине XVIII века — между Даламбером и Эйлером. Бернулли и Даламбер считали, что следует определить log(-x) = log(x). Полная теория логарифмов отрицательных и комплексных чисел была опубликована Эйлером в 1747—1751 годах и по существу ничем не отличается от современной.

Хотя спор продолжался (Даламбер отстаивал свою точку зрения и подробно аргументировал её в статье своей «Энциклопедии» и в других трудах), точка зрения Эйлера быстро получила всеобщее признание.

Логарифмические таблицы

Логарифмические таблицы

Из свойств логарифма следует, что вместо трудоёмкого умножения многозначных чисел достаточно найти (по таблицам) и сложить их логарифмы, а потом по тем же таблицам выполнить потенцирование, то есть найти значение результата по его логарифму. Выполнение деления отличается только тем, что логарифмы вычитаются. Лаплас говорил, что изобретение логарифмов «продлило жизнь астрономов», многократно ускорив процесс вычислений.

При переносе десятичной запятой в числе на $n$ разрядов значение десятичного логарифма этого числа изменяется на $n$. Например, $\lg 8314{,}63=\lg 8{,}31463+3$. Отсюда следует, что достаточно составить таблицу десятичных логарифмов для чисел в диапазоне от 1 до 10.

Первые таблицы логарифмов опубликовал Джон Непер (1614), и они содержали только логарифмы тригонометрических функций, причём с ошибками. Независимо от него свои таблицы опубликовал Иост Бюрги, друг Кеплера (1620). В 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс опубликовал таблицы, которые уже включали десятичные логарифмы самих чисел, от 1 до 1000, с 8 (позже — с 14) знаками. Но и в таблицах Бригса обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Вега (1783) появилось только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремивера).

В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого. В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов.

• Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы. 44-е издание, М., 1973.

Таблицы Брадиса (1921) использовались в учебных заведениях и в инженерных расчётах, не требующих большой точности. Они содержали мантиссы десятичных логарифмов чисел и тригонометрических функций, натуральные логарифмы и некоторые другие полезные расчётные инструменты.

• Вега Г. Таблицы семизначных логарифмов, 4-е издание, М., 1971.

Профессиональный сборник для точных вычислений.

• Пятизначные таблицы натуральных значений тригонометрических величин, их логарифмов и логарифмов чисел, 6 изд., М.: Наука, 1972.
• Таблицы натуральных логарифмов, 2-е издание, в 2 томах, М.: Наука, 1971.

В настоящее время с распространением калькуляторов необходимость в использовании таблиц логарифмов отпала.

См. также

• Комплексное число
• Логарифмическая линейка
• Показательная функция
• Простаферетическая функция
• Системы счисления
• Список интегралов от логарифмических функций

Литература

• Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов. Петроград, 1923. −78 с.
• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2003. — ISBN 5-17-009554-6.
• История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука.

• Том 1 С древнейших времен до начала Нового времени. (1970)
• Том 2 Математика XVII столетия. (1970)

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, тома I, II. — М.: Наука, 1960.

Ссылки

• http://oldskola.narod.ru/RozLog/rozlog27.htm Глава VI. Ключ Меркатора. 3. Меркатор находит ключ.