Алгебра над кольцом

Пусть $K\displaystyle$ — произвольное коммутативное кольцо с единицей. Модуль $A\displaystyle$ над кольцом $K\displaystyle$ , в котором для заданного билинейного отображения

f:A\times A\rightarrow A

определенно произведение согласно равенству

ab=f(a,b)\displaystyle

называется алгеброй над $K\displaystyle$ или $K\displaystyle$ -алгеброй.

Согласно определению для всех $k,\;l\in K$ и $a\displaystyle$ , $b\displaystyle$ , $c\in A$ справедливы соотношения

$a(b+c)=ab+ac\displaystyle$
$(a+b)c=ac+bc\displaystyle$
$(k+l)a=ka+la\displaystyle$
$k(a+b)=ka+kb\displaystyle$
$k(la)=(kl)a\displaystyle$
$k(ab)=(ka)b=a(kb)\displaystyle$
$1a=a\displaystyle$ , где $1\displaystyle$ — единица кольца $K\displaystyle$

Нетрудно убедиться, что относительно операций сложения и умножения алгебра является кольцом.

Для $a\displaystyle$ , $b\in A$ коммутатор определён равенством

[a,b]=ab-ba\displaystyle

$K\displaystyle$ -алгебра называется коммутативной, если

[a,b]=0\displaystyle

Для $a\displaystyle$ , $b\displaystyle$ , $c\in A$ ассоциатор определён равенством

(a,b,c)=(ab)c-a(bc)\displaystyle

$K\displaystyle$ -алгебра называется ассоциативной, если

(a,b,c)=0\displaystyle

Если существует элемент $e\in A\displaystyle$ такой, что $ea=ae=a\displaystyle$ для всех $a\in A$ , то $e\displaystyle$ называется единицей алгебры $A\displaystyle$ , а сама алгебра называется алгеброй с единицей.

Иногда алгебра определяется и над некоммутативными кольцами, в этом случае вместо условия 4 требуют более слабое:

k(ab)=(ka)b\displaystyle

Любое кольцо можно считать алгеброй над кольцом целых чисел, если понимать произведение $na\displaystyle$ (где $n\displaystyle$ — целое число) обычно, то есть как сумму $n\displaystyle$ копий $a\displaystyle$ . Поэтому, кольца можно рассматривать как частный случай алгебр.

Если вместо билинейного отображения $f\displaystyle$ выбрать полилинейное отображение

g:A^{n}\rightarrow A

и определить произведение согласно правилу

a_{1}...a_{n}=g(a_{1},...,a_{n})\displaystyle

то полученная алгебраическая структура называется $n\displaystyle$ -алгеброй.

Свободная алгебра

Если алгебра $A\displaystyle$ над коммутативным кольцом $K\displaystyle$ является свободным модулем, то она называется свободной алгеброй и имеет базис над кольцом $K\displaystyle$ . Если алгебра $A\displaystyle$ имеет конечный базис, то алгебра $A\displaystyle$ называется конечномерной.

Если $K\displaystyle$ является полем, то, по определению, $K\displaystyle$ -алгебра является векторным пространством над $K\displaystyle$ , а значит, имеет базис.

Базис конечномерной алгебры обычно обозначают $e_{1}\displaystyle$ , ..., $e_{n}\displaystyle$ . Если алгебра имеет единицу $e\displaystyle$ , то обычно единицу включают в состав базиса и полагают $e_{0}=e\displaystyle$ . Если алгебра имеет конечный базис, то произведение в алгебре легко восстановить на основании таблиц умножения

e_{i}e_{j}=C_{ij}^{k}e_{k}

А именно, если $a=a^{k}e_{k}\displaystyle$ , $b=b^{k}e_{k}\displaystyle$ , то произведение можно представить в виде

ab=C_{ij}^{k}a^{i}b^{j}e_{k}

Величины $C_{ij}^{k}\in K$ называются структурными константами алгебры $A\displaystyle$ .

Если алгебра коммутативна, то

C_{ij}^{k}=C_{ji}^{k}

Если алгебра ассоциативна, то

C_{ij}^{k}C_{ml}^{j}=C_{im}^{j}C_{jl}^{k}

Свойства

Из алгебры многочленов (от достаточно большого числа переменных) над полем $K$ можно получить, в качестве гомоморфного образа, любую ассоциативно-коммутативную алгебру над $K$ .

Отображение алгебры

Мы можем рассматривать алгебру $A\displaystyle$ над коммутативным кольцом $K\displaystyle$ как модуль $A\displaystyle$ над коммутативным кольцом $K\displaystyle$ . Отображение

f:A\rightarrow B

алгебры $A\displaystyle$ над коммутативным кольцом $K\displaystyle$ в алгебру $B\displaystyle$ над кольцом $K\displaystyle$ называется линейным, если

f(a+b)=f(a)+f(b)\displaystyle

f(ka)=kf(a)\displaystyle

для любых $a\displaystyle$ , $b\in A$ , $k\in K$ . Множество линейных отображений алгебры $A\displaystyle$ в алгебру $B\displaystyle$ обозначается символом ${\mathcal {L}}(A;B)$ .