Участник:Черный Дракон/Песочница

$x!=\int \limits _{0}^{+\infty }t^{x}e^{-t}dt$

$\int t^{n}e^{-t}dt=-e^{-t}\sum _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!}}x^{k}$

$n!=\lim _{A\to +\infty }\int \limits _{0}^{A}t^{n}e^{-t}dt=\lim _{A\to +\infty }\left[-e^{-t}\sum _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!}}t^{k}\right]{\Bigl |}_{0}^{A}$

$(t\to +\infty )\Rightarrow \left({\frac {t^{n}}{e^{t}}}=0\right)$ (экспонента на бесконечности много больше многочленов)

$n!=0-(-e^{0}n!)=n!$