Преобразования Лоренца

Преобразования Лоренца — математические преобразования в специальной теории относительности, которым подвергаются координаты события при переходе от одной инерциальной системы отсчёта (ИСО) — к другой.

Вид преобразований при коллинеарных осях

Если ИСО K' движется относительно ИСО K с постоянной скоростью $V$ вдоль оси $x$, а начала координат совпадают в начальный момент времени в обеих системах, то преобразования Лоренца имеют вид:

$x={\frac {x'+Vt'}{\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}},y=y',z=z',t={\frac {t'+(V/c^{2})x'}{\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}}$,

где $c$ — скорость света в вакууме.

Формулы, выражающие обратное преобразование, то есть, $x',y',z',t'$ через $x,y,z,t$ можно получить заменой $V$ на $V'=-V$.

Вид преобразований при произвольной ориентации осей

В силу произвольности введения осей координат, многие задачи можно свести к указанному случаю. Если же задача требует иного расположения осей, то можно воспользоваться формулами преобразований в более общем случае. Для этого радиус-вектор точки

$\mathbf {r'} =\mathbf {i} x'+\mathbf {j} y'+\mathbf {k} z'$,

где $\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k}$ - орты, надо разбить на составляющую $\mathbf {r'_{\|}}$ параллельную скорости и составляющую $\mathbf {r'_{\perp }}$ ей перпендикулярную

$\mathbf {r'} =\mathbf {r'_{\|}} +\mathbf {r'_{\perp }}$.

Тогда преобразования получат вид

$\mathbf {r_{\|}} ={\frac {\mathbf {r'_{\|}} +\mathbf {v} t'}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},\mathbf {r_{\perp }} =\mathbf {r'_{\perp }} ,t={\frac {t'+(v/c^{2})r_{\|}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$,

где $v=V=\left|\mathbf {v} \right|$ — абсолютная величина скорости, $r_{\|}=\left|\mathbf {r_{\|}} \right|$ — абсолютная величина продольной составляющей радиус-вектора.

Эти формулы можно преобразовать к виду, впервые полученному Герглоцем

$\mathbf {r} =\mathbf {r'} +{\frac {1}{v^{2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\right)(\mathbf {rv} )\mathbf {v} +{\frac {\mathbf {v} t}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$, $t={\frac {t'+(v/c^{2})\mathbf {rv} }{\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}}$.

Обратите внимание, что самый общий случай, когда начала координат не совпадают в нулевой момент времени, здесь не приведён с целью экономии места. Его можно получить, добавив к преобразованиям Лоренца линейные преобразования.

Преобразования Лоренца в матричном виде

Для случая коллинеарных осей преобразования Лоренца записываются в виде

${\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &{\frac {v}{c}}\gamma &0&0\\{\frac {v}{c}}\gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z\end{bmatrix}}.$,

где $\gamma \equiv {\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$.

Свойства преобразований Лоренца

Можно заметить, что в случае, когда $c\rightarrow \infty$, преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея. То же самое происходит в случае, когда $v/c\rightarrow 0$. Это говорит о том, что специальная теория относительности совпадает с механикой Ньютона либо в мире с бесконечной скоростью света, либо при скоростях, малых по сравнению со скоростью света. Последее объясняет, каким образом сочетаются эти две теории — первая является уточнением второй.

Немного истории

Преобразования названы в честь из первооткрывателя — Х. А. Лоренца, который вывел их, чтобы устранить противоречия между электродинамикой и механикой Ньютона. В 1900 г. он обнаружил, что эти преобразования оставляют инвариантными уравнения Максвелла. Сам Лоренц верил в светоносный эфир и только Эйнштейн в своей теории относительности пришёл к современной трактовке этих преобразований.

Преобразования Лоренца были впервые опубликованы в 1904 г. но в то время их форма была несовершенна. К современному, полностью самосогласованному виду из привёл французский математик А. Пуанкаре.