Теорема о неявной функции

Теорема о неявной функции — общее название для теорем, гарантирующих локальное существование и описывающих свойства неявной функции, т. е. функции

$y=f(x)$,   $f:X\to Y$,

заданной уравнением

$F(x,y)=z_{0}$,   $F:X\times Y\to Z$

и значение $z_{0}\in Z$ фиксированно.

Одномерный случай

Простейшая теорема о неявной функции состоит в следующем.

Если функция $F:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ непрерывна в некоторой окрестности точки $(x_{0},y_{0})$ $F(x_{0},y_{0})=0$ и при фиксированном $x$ функция $F(x,y)$ строго монотонна по $y$ в данной окрестности, тогда найдётся такой двумерный промежуток $I=I_{x}\times I_{y}$, являющийся окрестностью точки $(x_{0},y_{0})$, и такая непрерывная функция $f:I_{x}\to I_{y}$, что для любой точки $(x,y)\in I$ $F(x,y)=0\Leftrightarrow y=f(x)$ Обычно дополнительно предполагается, что функция $F$ непрерывно дифференцируема, в этом случае условие монотонности следует из того, что $F_{y}'(x_{0},y_{0})\neq 0\quad$, здесь $F_{y}'$ обозначает частную производную $F$ по $y$. Более того, в этом случае производная функции $f$ может быть вычислена по формуле $f'(x)=-{\frac {F_{x}'(x,f(x))}{F_{y}'(x,f(x))}}.$ Многомерный случай Пусть $\mathbb {R} ^{n}$ и $\mathbb {R} ^{m}$ суть $n$- и $m$-мерные евклидовы пространства с фиксированными системами координат, точки которых соответственно $x=(x_{1},\dots ,x_{n})$ и $y=(y_{1},\dots ,y_{m})$. Пусть $F$ отображает некоторую окрестность $W$ точки $(x_{0},y_{0})\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}$ в пространство $\mathbb {R} ^{m}$ и $F_{1},F_{2},\ldots ,F_{m}$ — координатные функции (от переменных $x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{m}$) отображения $F$, то есть $F=(F_{1},F_{2},\ldots ,F_{m})$. Предположим, что $F(x_{0},y_{0})=0$ и отображение $F$ является $k$ раз непрерывно дифференцируемым в окрестности $W$, а якобиан отображения $y\mapsto F(x_{0},y)$ не равен нулю в точке $y_{0}$, т.е. определитель матрицы ${\frac {\partial F}{\partial y}}(x_{0},y_{0})$ не равен нулю. Тогда существуют окрестности $U$ и $V$ точек $x_{0}$ и $y_{0}$ соответственно в пространствах $\mathbb {R} ^{n}$ и $\mathbb {R} ^{m}$, причем $U\times V\subset W$, и единственное отображение $f:U\to V$, такие, что для всех $x\in U$ выполняется тождество $F(x,f(x))=0\,$. При этом $f(x_{0})=y_{0}$ и отображение $f$ является $k$ раз непрерывно дифференцируемым на $U$. Литература Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981; Зорич В. А., Математический анализ, Любое издание. Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965; Никольский С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 1—2, М., 1975; Шварц Л., Анализ, пер. с франц., т. 1, М., 1972; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971.