Интегральная показательная функция

Интегральная показательная функция — специальная функция, определяемая интегралом:

$\operatorname {Ei} (x)=\int \limits _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}dt$

Встречаются и другие определения:

$\operatorname {Ei} (x)=-\int \limits _{-x}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}dt=\int \limits _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}dt=\operatorname {li} (e^{x});\;[x<0];$

При положительных аргументах функция вычисляется как главное значение интеграла в смысле Коши:

$\operatorname {Ei} (x)=-\lim _{\varepsilon \to +0}\left[\int \limits _{-x}^{-\varepsilon }{\frac {e^{-t}}{t}}dt+\int \limits _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}dt\right];\;[x>0].$

Функция $\operatorname {Ei} (x)$ представляется в виде ряда:

$\operatorname {Ei} (x)=\gamma +\ln(-x)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!n}},\;[x<0],$

где $\gamma$ — Постоянная Эйлера — Маскерони, и с помощью данного представления может быть продолжена на всю комплексную плоскость с разрезом вдоль положительной части оси x:

$\operatorname {Ei} (z)=\gamma +\ln(-z)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!n}},$

См. также

• Интегральный логарифм
• Интегральный синус
• Интегральный косинус

Литература

• Математический Энциклопедический Словарь, М. 1995, с. 230.