Смешанное произведение

Сме́шанное произведе́ние $({\bar {a}},{\bar {b}},{\bar {c}})$ векторов ${\bar {a}},{\bar {b}},{\bar {c}}$ — скалярное произведение вектора ${\bar {a}}$ на векторное произведение векторов ${\bar {b}}$ и ${\bar {c}}$ :

({\bar {a}},{\bar {b}},{\bar {c}})=\langle {\bar {a}},[{\bar {b}},{\bar {c}}]\rangle ={\bar {a}}\cdot \left({\bar {b}}\times {\bar {c}}\right)

.

Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов.

Свойства

Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:
$({\bar {a}},{\bar {b}},{\bar {c}})=({\bar {b}},{\bar {c}},{\bar {a}})=({\bar {c}},{\bar {a}},{\bar {b}})=-({\bar {b}},{\bar {a}},{\bar {c}})=-({\bar {c}},{\bar {b}},{\bar {a}})=-({\bar {a}},{\bar {c}},{\bar {b}});$
т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения.
Смешанное произведение $({\bar {a}},{\bar {b}},{\bar {c}})$ в правой декартовой системе координат равно определителю матрицы, составленной из векторов ${\bar {a}},{\bar {b}}$ и ${\bar {c}}$ :
$({\bar {a}},{\bar {b}},{\bar {c}})={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}.$

В частности,

Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.
Смешанное произведение $({\bar {a}},{\bar {b}},{\bar {c}})$ по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда, образованного векторами ${\bar {a}},{\bar {b}}$ и ${\bar {c}};$ знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.