Теория множеств

Тео́рия мно́жеств — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Теория множеств лежит в основе большинства математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой математики.

История

Наивная теория множеств

Первый набросок теории множеств принадлежит Бернарду Больцано («Парадоксы бесконечного», 1850). В этой работе рассматриваются произвольные (числовые) множества, и для их сравнения определено понятие взаимно-однозначного соответствия.

В 1870 году немецкий математик Георг Кантор разработал свою программу стандартизации математики, в рамках которой любой математический объект должен был оказываться тем или иным «множеством». Этот подход изложен в двух его статьях, опубликованных в 1879—1897 годах в известном немецком журнале «Математические анналы» (нем. «Mathematische Annalen»). Например, натуральное число, по Кантору, следовало рассматривать как множество, состоящее из единственного элемента другого множества, называемого «натуральным рядом» — который, в свою очередь, сам представляет собой множество, удовлетворяющее так называемым аксиомам Пеано. При этом общему понятию «множества», рассматривавшемуся им в качестве центрального для математики, Кантор давал мало что определяющие определения вроде «множество есть многое, мыслимое как единое», и т. д. Это вполне соответствовало умонастроению самого Кантора, подчёркнуто называвшего свою программу не «теорией множеств» (этот термин появился много позднее), а учением о множествах (Mengenlehre).

Программа Кантора вызвала резкие протесты со стороны многих современных ему крупных математиков. Особенно выделялся своим непримиримым к ней отношением Леопольд Кронекер, полагавший, что математическими объектами могут считаться лишь натуральные числа и то, что к ним непосредственно сводится (известна его фраза о том, что «бог создал натуральные числа, а всё прочее — дело рук человеческих»). Полностью отвергли теорию множеств и такие авторитетные математики, как Герман Шварц и Анри Пуанкаре. Тем не менее, другие крупные математики — в частности, Готлоб Фреге, Рихард Дедекинд и Давид Гильберт — поддержали Кантора в его намерении перевести всю математику на теоретико-множественный язык. В частности, теория множеств стала фундаментом теории меры и интеграла, топологии и функционального анализа.

Однако вскоре выяснилось, что установка Кантора на неограниченный произвол при оперировании с бесконечными множествами (выраженный им самим в принципе «сущность математики состоит в её свободе») является изначально порочной. А именно, был обнаружен ряд теоретико-множественных антиномий: оказалось, что при использовании теоретико-множественных представлений некоторые утверждения могут быть доказаны вместе со своими отрицаниями (а тогда, согласно правилам классической логики высказываний, может быть «доказано» абсолютно любое утверждение).

После обнаружения антиномии Рассела часть математиков (например, Л. Э. Я. Брауэр и его школа) решила полностью отказаться от использования теоретико-множественных представлений. Другая же часть математиков, возглавленная Д. Гильбертом, предприняла ряд попыток строго обосновать ту часть теоретико-множественных представлений, которая казалась им наиболее ответственной за возникновение антиномий, на основе заведомо надёжной финитной математики. Логический аппарат усовершенствовал Бертран Рассел в работах, позднее собранных в его монографии «Начала математики» (1910-1913). В 1904-1908 гг. Эрнст Цермело предложил первую версию аксиоматической теории множеств.

Аксиоматическая теория множеств

Особенностью аксиоматического подхода является отказ от лежащего в основе программы Кантора представления о действительном существовании множеств в некотором идеальном мире. В рамках аксиоматических теорий множества «существуют» исключительно формальным образом, и их «свойства» могут существенно зависеть от выбора аксиоматики. Этот факт всегда являлся мишенью для критики со стороны тех математиков, которые не соглашались (как на том настаивал Гильберт) признать математику лишённой всякого содержания игрой в символы. В частности, Н. Н. Лузин писал, что «мощность континуума, если только мыслить его как множество точек, есть единая некая реальность», место которой в ряду кардинальных чисел не может зависеть от того, признаётся ли в качестве аксиомы континуум-гипотеза, или же её отрицание.

В настоящее время наиболее распространённой аксиоматической теорией множеств является ZFC — теория Цермело — Френкеля с аксиомой выбора. Вопрос о непротиворечивости этой теории (а тем более — о существовании модели для неё) остаётся нерешённым.

Не всеми математиками аксиома выбора принимается безоговорочно. Так, например Эмиль Борель и Анри Лебег считают, что доказательства, полученные при помощи этой аксиомы, имеют другую познавательную ценность, чем доказательства, независимые от неё. Другие же математики, такие как Феликс Хаусдорф и Адольф Френкель, принимают аксиому выбора безоговорочно, признавая за ней ту же степень очевидности, что и за другими аксиомами Цермело — Френкеля.

Основные понятия

В основе теории множеств лежат первичные понятия: множество и отношение быть элементом множества (обозначается как $x\in A$ — «x есть элемент множества A»). Среди производных понятий наиболее важны следующие:

• пустое множество;
• подмножество и надмножество;
• семейство множеств;
• пространство (Универсум);
• конституента.

Над множествами определены следующие операции:

• объединение (или сумма) (обозначается как $A\cup B$);
• разность (обозначается как $A\setminus B,$ реже $A-B\,$);
• дополнение (обозначается как $\setminus A,$ или $-A\,$);
• пересечение (или произведение) (обозначается как $A\cap B$);
• симметрическая разность (обозначается как $A\,\triangle \,B,$ реже $A\,{\dot {-}}\,B$).

Для множеств определены следующие бинарные отношения:

• отношение равенства (обозначается как $A=B\,$);
• отношение включения (обозначается как $A\subset B$).

Приложения

• Топология
• Теория решёток
• Реляционная модель данных

См. также

• Аксиоматика теории множеств
• Булеан
• Кардинальное число
• Континуум
• Парадоксы теории множеств
• Счётное множество
• Теория типов

Литература

• К. Куратовский, А. Мостовский. Теория множеств / Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова. — М.: Мир, 1970. — 416 с.
• Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств.
• А. Френкель, И. Бар-Хиллел. Основания теории множеств / Перевод с английского Ю. А. Гастева под редакцией А. С. Есенина-Вольпина. — М.: Мир, 1966. — 366 с.