Равенство Парсеваля

Ра́венство Парсева́ля — это аналог теоремы Пифагора в векторных пространствах со скалярным произведением. Названо по аналогии с теоремой для периодических функций, сформулированой Парсевалем в 1799 году.

Формулировка

Пусть дано гильбертово пространство $(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$, где $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ — скалярное произведение, определённое на множестве $H$. Обозначим $\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$ индуцированную этим скалярным произведением норму. Тогда если $\{e_{k}\}_{k=1}^{\infty }$ — ортонормированная система, полная в $H$, то

$\|x\|^{2}=\sum _{k=1}^{\infty }\left|\langle x,e_{k}\rangle \right|^{2}.$

См. также

• Ряд Фурье