Коммутативность

Первое известное использование термина коммутативность.

Пример, показывающий коммутативность сложения (3 + 2 = 2 + 3)

Коммутативная операция — это бинарная операция $\circ$, обладающая коммутативностью (от позднелатинского слова commutativus — «меняющийся»), то есть переместительностью:

$x\circ y=y\circ x$ для любых элементов $x,\;y$.

В частности, если групповая операция является коммутативной, то группа называется абелевой. Если операция умножения в кольце является коммутативной, то кольцо называется коммутативным.

История

Термин «коммутативность» ввёл в 1814 году французский математик Франсуа Жозеф Сервуа (1767—1847).

Примеры

• Сумма и произведение действительных чисел коммутативны:

$a+b=b+a;\quad a\cdot b=b\cdot a;\quad a,\;b\in \mathbb {R} .$

• Конъюнкция и дизъюнкция коммутативны:

$a\land b\equiv b\land a;\quad a\lor b\equiv b\lor a.$

• объединение, пересечение и симметрическая разность множеств коммутативны:

$A\cup B=B\cup A;\quad A\cap B=B\cap A;\quad A\bigtriangleup B=B\bigtriangleup A.$

• Возведение в степень действительных чисел, вообще говоря, некоммутативно ($a^{b}\neq b^{a}$) и даже не ассоциативно:

$2^{4}=4^{2}=16$, но $2^{5}=32\neq 5^{2}=25$.

См. также

• Антикоммутативность
• Аддитивность
• Ассоциативная операция
• Дистрибутивность
• Идемпотентность
• Булева алгебра