Коллинеарность

Два ненулевых (не равных 0) вектора называются коллинеа́рными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Допусти́м, но не рекомендуется синоним — «параллельные» векторы. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены («сонаправлены») или противоположно направлены (в последнем случае их иногда называют «антиколлинеарными» или «антипараллельными»).

Обозначения

• Коллинеарные векторы: ${\vec {a}}\parallel {\vec {b}}$
• Сонаправленные векторы: ${\vec {a}}\upuparrows {\vec {b}}$
• Противоположно направленные векторы: ${\vec {a}}\uparrow \downarrow {\vec {b}}$

Свойства коллинеарности

Пусть ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ — векторы пространства $\mathbb {R} ^{n}$. Тогда верны следующие утверждения:

• Коллинеарность — отношение эквивалентности, то есть оно:
  1. рефлексивно: ${\vec {a}}||{\vec {a}}$
  2. симметрично: ${\vec {a}}||{\vec {b}}\Leftrightarrow {\vec {b}}||{\vec {a}}$
  3. транзитивно: $\left({\vec {a}}||{\vec {b}}\right)\land \left({\vec {b}}||{\vec {c}}\right)\Rightarrow \left({\vec {a}}||{\vec {c}}\right)$
• Нулевой вектор коллинеарен любому вектору: ${\vec {a}}||{\vec {0}}$
• Скалярное произведение коллинеарных векторов ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=\pm ab$ равно произведению длин векторов (взятых со знаком «-», если векторы противоположно направлены)
• Векторы на плоскости коллинеарны тогда и только тогда, когда их псевдоскалярное произведение равно 0.
• Коллинеарные векторы линейно зависимы.
• Существует действительное число $\;\lambda$ такое, что ${\vec {a}}=\lambda {\vec {b}}$ для коллинеарных ${\vec {a}}$ и ${\vec {b}}$, за исключением особого случая ${\vec {b}}={\vec {0}}$. Это определения и также критерий коллинеарности.
• На плоскости 2 неколлинеарных вектора ${\vec {a}},{\vec {b}}$ образуют базис. Это значит, что любой вектор ${\vec {c}}$ можно представить в виде: ${\vec {c}}=x_{1}{\vec {a}}+x_{2}{\vec {b}}$. Тогда $\;\{x_{1},x_{2}\}$ будут координатами ${\vec {c}}$ в данном базисе.

Обобщения

Выше описанные критерии коллинеарности позволяют определить это понятие для векторов, понимаемых не в геометрическом смысле, а как элементы произвольного линейного пространства.

Иногда коллинеарными называют те точки (или другие объекты), которые лежат на (принадлежат) одной прямой.

См. также

• Компланарность