Теорема Гюйгенса — Штейнера

Иллюстрация теоремы для момента площади.

Теоре́ма Гю́йгенса — Ште́йнера, или просто теорема Штейнера (названа по имени швейцарского математика Якоба Штейнера и голландского математика, физика и астронома Христиана Гюйгенса): момент инерции тела $I$ относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела $I^{c}$ относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела $m$ на квадрат расстояния $d$ между осями:

$I^{\mathrm {new} }=I^{\mathrm {c} }+md^{2},$

где

$m$ — масса тела,

$d$ — расстояние между осями.

Пример

Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной стержню, (назовём её осью $C$) равен

$J_{C}={\frac {mL^{2}}{12}}.$

Тогда согласно теореме Штейнера его момент относительно произвольной параллельной оси будет равен

$J=J_{C}+md^{2},$

где $d$ — расстояние между искомой осью и осью $C$. В частности, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной стержню, можно найти положив в последней формуле $d=L/2$:

$J=J_{C}+m\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}={\frac {mL^{2}}{12}}+{\frac {mL^{2}}{4}}={\frac {mL^{2}}{3}}.$

Пересчёт тензора инерции

Теорема Гюйнеса — Штейнера допускает обобщение на тензор момента инерции, что позволяет получать тензор $\mathbf {J} _{ij}$ относительно произвольной точки из тензора $\mathbf {I} _{ij}$ относительно центра масс. Пусть $\mathbf {a}$ — смещение от центра масс, тогда

$\mathbf {J} _{ij}=\mathbf {I} _{ij}+m(a^{2}\delta _{ij}-a_{i}a_{j}),$

где

$\mathbf {a} =a_{1}\mathbf {\hat {x}} +a_{2}\mathbf {\hat {y}} +a_{3}\mathbf {\hat {z}}$ — вектор смещения от центра масс, а $\delta _{ij}$ — символ Кронекера.

Как видно, для диагональных элементов тензора (при $i=j$) формула имеет вид теоремы Гюйгенса — Штейнера для момента относительно новой оси.