t-критерий Стьюдента

t-критерий Стьюдента — общее название для класса методов статистической проверки гипотез (статистических критериев), основанных на сравнении с распределением Стьюдента. Наиболее частые случаи применения t-критерия связаны с проверкой равенства средних значений в двух выборках.

История

Данный критерий был разработан Уильямом Госсеттом для оценки качества пива в компании Гиннесс. В связи с обязательствами перед компанией по неразглашению коммерческой тайны (руководство Гиннесса считало таковой использование статистического аппарата в своей работе), статья Госсета вышла в 1908 году в журнале «Биометрика» под псевдонимом «Student» (Студент).

Требования к данным

Для применения данного критерия необходимо, чтобы исходные данные имели нормальное распределение. В случае применения двухвыборочного критерия для независимых выборок также необходимо соблюдение условия равенства дисперсий. Существуют, однако, альтернативы критерию Стьюдента для ситуации с неравными дисперсиями.

Двухвыборочный t-критерий для независимых выборок

Пусть $M_{1},M_{2}$ — средние арифметические, $\sigma _{1},\sigma _{2}$ — стандартные отклонения, а $N_{1},N_{2}$ — размеры выборок.

В случае с незначительно отличающимся размером выборки применяется упрощённая формула приближенных расчётов:

$t={\frac {|M_{1}-M_{2}|}{\sqrt {{\frac {\sigma _{1}^{2}}{N_{1}}}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{N_{2}}}}}}$

В случае, если размер выборки отличается значительно, применяется более сложная и точная формула:

$t={\frac {|M_{1}-M_{2}|}{\sqrt {{\frac {(N_{1}-1)\sigma _{1}^{2}+(N_{2}-1)\sigma _{2}^{2}}{N_{1}+N_{2}-2}}({\frac {1}{N_{1}}}+{\frac {1}{N_{2}}})}}}$

Количество степеней свободы рассчитывается как

$\,df=N_{1}+N_{2}-2$

Двухвыборочный t-критерий для зависимых выборок

Для вычисления эмпирического значения t-критерия в ситуации проверки гипотезы о различиях между двумя зависимыми выборками (например, двумя пробами одного и того же теста с временным интервалом) применяется следующая формула:

$t={\frac {|M_{d}|}{\sigma _{d}/{\sqrt {N}}}}$

где $M_{d}$ — средняя разность значений, $\sigma _{d}$ — стандартное отклонение разностей, а N — количество наблюдений

Количество степеней свободы рассчитывается как

$\,df=N-1$

Одновыборочный t-критерий

Применяется для проверки гипотезы об отличии среднего значения $\,M_{x}$ от некоторого известного значения $\,A$:

$t={\frac {|M_{x}-A|}{\sigma /{\sqrt {N}}}}$

Количество степеней свободы рассчитывается как

$\,df=N-1$

Непараметрические аналоги

Аналогом двухвыборочного критерия для независимых выборок является U-критерий Манна-Уитни. Для ситуации с зависимыми выборками аналогами являются критерий знаков и T-критерий Вилкоксона

Автоматический расчет t-критерия Стьюдента

• Автоматический расчет t-критерия Стьюдента

• Табличные значения t-критерия Стьюдента