Интегрированный временной ряд

Интегрированный временной ряд - нестационарный временной ряд, разности некоторого порядка от которого, являются стационарным временным рядом. Такие ряды также называют разностно-стационарными (DS-рядами, Diference Stationary).

Определение

Для определения интегрированных временных рядов необходимо определить класс временных рядов, называемых стационарными относительно тренда рядами (TS-рядами, trend stationary). Ряд $X_{t}$ называется TS-рядом, если существует некоторая (детерминированная) функция f(t), такая что разность Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle X_t − f(t)} является стационарным процессом. В частности, к TS-рядам относятся все стационарные ряды. Однако, многие TS-ряды являются нестационарными. К TS рядам относится, например, также модель линейного (детерминированного) тренда Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle x_t = a + bt + ε_t} , где ошибка модели - стационарный процесс (обычно белый шум).

Временной $X_{t}$ ряд называется интегрированным порядка k (обычно пишут Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle X_t∼I(k)} ), если разности ряда порядка $k$ являются стационарными, в то время как разности меньшего порядка (включая нулевого порядка, то есть сам временной ряд) не являются TS-рядами. В частности I(0)-это стационарный процесс.

Рассмотрим пример - процесс случайного блуждания со сносом (дрейфом) - интегрированный процесс первого порядка I(1)

Последняя запись внешне может быть похожа на обычную модель детерминированного линейного тренда, однако особенность этой модели в том, что случайная ошибка этой модели имеет дисперсию, пропорциональную времени, то есть эта случайная ошибка нестационарна. Обычный метод детрендирования (исключения тренда) данного временного ряда не приводит к стационарному процессу, а приводит к т.н. стохастичекому тренду.