Сумма Римана

Определение

Пусть $f:D\rightarrow R$ является функцией определённой на подмножестве $D$ на вещественной прямой $R$.

$I=[a,b]$ — замкнутый интервал содержащийся в $D$.

$P={[x_{0},x_{1}),[x_{1},x_{2}),...[x_{n-1},x_{n}]}$ является разбиением $I$, в котором $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}...<x_{n}=b$.

Сумма Римана функции $f$ с разбиением $P$ определяется следующим образом:

$S=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})(x_{i}-x_{i-1})$

где $x_{i-1}\leqslant x_{i}^{*}\leqslant x_{i}$. Выбор $x_{i}^{*}$ в данном интервале является произвольным. Если $x_{i}^{*}=x_{i-1}$ для всех $i$, тогда $S$ называется левой суммой Римана. Если $x_{i}^{*}=x_{i}$, тогда S называется правой суммой Римана. Если $x_{i}^{*}={\frac {1}{2}}(x_{i}+x_{i-1})$, тогда $S$ называется средней суммой Римана. Усреднённое значение левой и правой суммы Римана называется трапециевидной суммой.

Если Сумма Римана представляется в виде:

$S=\sum _{i=1}^{n}v_{i}(x_{i}-x_{i-1})$

где $v_{i}$ является точной верхней границей множества f на интервале $[x_{i-1},x_{i}]$, то $S$ называется верхней суммой Римана. Аналогично, если $v_{i}$ является точной нижней границей множества $f$ интервале $[x_{i-1},x_{i}]$, то S называется нижней суммой Римана.

Любая сумма Римана с заданным разбиением (при выборе любого значения$x_{i-1}$ из интервала $[x_{i}^{*},x_{i}]$ находится между нижней и верхней суммами Римана.