Аффинное преобразование

Изображение папоротника-подобного фрактала, которое показывает аффинное самоподобие

Аффи́нное преобразование — отображение $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$, которое можно записать в виде

$f(x)=M\cdot x+v,$

где $~M$ — обратимая матрица и $v\in \mathbb {R} ^{n}$.

Иначе говоря, преобразование называется аффинным, если его можно получить следующим образом:

1. Выбрать «новый» базис пространства с «новым» началом координат $~v$;
2. Каждой точке $x$ пространства поставить в соответствие точку $f(x)$, имеющую те же координаты относительно «новой» системы координат, что и $x$ в «старой».

Свойства

• При аффинном преобразовании прямая переходит в прямую.
  • Если размерность пространства ${n}\geq 2$, то любое преобразование пространства (то есть биекция пространства на себя), которое переводит прямые в прямые, является аффинным. Это определение используется в аксиоматическом построении аффинной геометрии
• Частным случаем аффинных преобразований являются движения и преобразования подобия.
• Аффинные преобразования образуют группу относительно композиции.
• Любые три точки, не лежащие на одной прямой и их образы соответственно (не лежащие на одной прямой) однозначно задают аффинное преобразование плоскости.

Типы аффинных преобразований

• Эквиаффинное преобразование — аффинное преобразование, сохраняющее площадь (также, сохраняется аффинная длина).
• Центроаффинное преобразование — аффинное преобразование, сохраняющее начало координат.

Матричное представление

Как и другие проективные преобразования, аффинное преобразование $f(x)=M\cdot x+v$ можно записать как матрицу перехода в однородных координатах:

${\begin{pmatrix}f(x)\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}M&v\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix}}$

Матричное представление используется, в частности, для записи аффинных преобразований в компьютерной графике. Указанная выше форма используется в OpenGL; в DirectX (где координаты представляются в виде матриц 1×4) она транспонирована.

Вариации и обобщения

• В приведённом выше определении аффинного преобразования можно использовать любое поле, а не только поле вещественных чисел $\mathbb {R}$.
• Отображение между метрическими пространствами называется аффинным, если оно переводит геодезические в геодезические (с учётом параметризации).
• Аффинные преобразования пространства $\mathbb {R} ^{n}$ являются подмножеством проективных преобразований того же пространства. В свою очередь, проективные преобразования пространства $\mathbb {R} ^{n}$ можно представить как аффинные преобразования пространства $\mathbb {R} ^{n+1}$.

См. также

• Способ «резинового листа»

Ссылки

• Аффинное преобразование плоскости и его матричное представление