Признак Вейерштрасса

Признак Вейерштрасса Рассмотрим ряд

$\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}(x)$

Пусть существует последовательность $a_{n}$ такая, что для любого $x\in X$ выполняется неравенство

$|u_{n}(x)|<a_{n}$

Пусть, кроме того, ряд

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

сходится. Тогда ряд

$\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}(x)$

сходится на множестве Х абсолютно и равномерно.

Доказательство Достаточно проверить справедливость критерия Коши, то есть доказать, что . Но последнее неравенство следует из того, что а для ряда выполняется критерий Коши, то есть .