Параллелепипед

Параллелепи́пед (от греч. παράλλος — параллельный и греч. επιπεδον — плоскость) — призма, основанием которой служит параллелограмм, или (равносильно) многогранник, у которого шесть граней и каждая из них параллелограмм.

Типы параллелепипеда

Различается несколько типов параллелепипедов:

• Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани прямоугольники;
• Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого 4 боковые грани прямоугольники;
• Наклонный параллелепипед — это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основаниям;
• Куб — это прямоугольный параллелепипед с равными измерениями. Все шесть граней куба — равные квадраты.

куб-обёмный квадрат

Основные элементы

Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными, а имеющие общее ребро — смежными. Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют его измерениями.

Свойства

• Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
• Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
• Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
• Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Основные формулы

Прямой параллелепипед

Площадь боковой поверхности S_б=Р_о*h, где Р_о — периметр основания, h — высота

Площадь полной поверхности S_п=S_б+2S_о, где S_о — площадь основания

Объём V=S_о*h

Прямоугольный параллелепипед

Основная статья: Прямоугольный параллелепипед

Площадь боковой поверхности S_б=2c(a+b), где a, b — стороны основания, c — боковое ребро прямоугольного параллелепипеда

Площадь полной поверхности S_п=2(ab+bc+ac)

Объём V=abc, где a, b, c — измерения прямоугольного параллелепипеда.

Куб

Площадь боковой поверхности S_б=4a², где а — ребро куба

Площадь полной поверхности S_п=6a²

Объём V=a³

В математическом анализе

В математическом анализе под n-мерным прямоугольным параллелепипедом $B$ понимают множество точек $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ вида $B=\{x|a_{1}\leqslant x_{1}\leqslant b_{1},\ldots ,a_{n}\leqslant x_{n}\leqslant b_{n}\}$

Ссылки

Прямоугольный параллелепипед