У этого термина существуют и другие значения, см.
Гамма .
Гамма-функция — математическая функция , которая расширяет понятие факториала на поле комплексных чисел . Обычно обозначается
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)}
Была введена Леонардом Эйлером , а своим обозначением гамма-функция обязана Лежандру .
График гамма-функции действительного переменного
Если вещественная часть комплексного числа
z
{\displaystyle z}
интеграл
Γ
(
z
)
=
∫
0
+
∞
t
z
−
1
e
−
t
d
t
,
z
∈
C
:
R
e
(
z
)
>
0
{\displaystyle ~\Gamma (z)=\int \limits _{0}^{+\infty }\!t^{\,{\mathrm {z} }-1}e^{-t}\,dt,\quad z\in \mathbb {C} \colon \mathrm {Re} (z)>0}
На всю комплексную плоскость функция аналитически продолжается через тождество
Γ
(
z
+
1
)
=
z
Γ
(
z
)
.
{\displaystyle ~\Gamma (z+1)=z\Gamma (z).}
Последующие выражения служат альтернативными определениями Гамма-функции.
Оно верно для всех комплексных
z
{\displaystyle z}
Γ
(
z
)
=
lim
n
→
∞
n
!
n
z
z
(
z
+
1
)
(
z
+
2
)
⋯
(
z
+
n
)
,
z
∈
C
∖
{
0
,
−
1
,
−
2
,
…
}
.
{\displaystyle \Gamma (z)=\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {n!\,n^{z}}{z(z+1)(z+2)\cdots (z+n)}},\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}.}
Γ
(
z
)
=
1
z
(
∏
n
=
1
∞
(
1
+
1
n
)
z
(
1
+
z
n
)
−
1
)
=
1
z
∏
n
=
1
∞
(
1
+
1
n
)
z
1
+
z
n
,
z
∈
C
∖
{
0
,
−
1
,
−
2
,
…
}
.
{\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{z}}\left(\prod \limits _{n=1}^{\infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{z}{\left(1+{\frac {z}{n}}\right)}^{-1}\right)={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{\mathrm {z} }}{1+{\frac {\mathrm {z} }{n}}}},\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}.}
Γ
(
z
)
=
e
−
γ
z
z
∏
n
=
1
∞
(
1
+
z
n
)
−
1
e
z
/
n
,
z
∈
C
∖
{
0
,
−
1
,
−
2
,
…
}
.
{\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n},\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}.}
где
γ
=
lim
n
→
∞
(
∑
k
=
1
n
1
k
−
ln
n
)
≈
0
,
57722
{\displaystyle \gamma =\lim \limits _{n\to \infty }\left(\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln {n}\right)\approx 0,57722}
постоянная Эйлера — Маскерони .
Интеграл выше сходится абсолютно , если вещественная часть комплексного числа
z
{\displaystyle z}
Применяя интегрирование по частям , можно показать, что тождество
Γ
(
z
+
1
)
=
z
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}
выполняется для подынтегрального выражения. А поскольку
Γ
(
1
)
=
1
{\displaystyle \Gamma (1)=1}
натуральных чисел
n
{\displaystyle n}
Γ
(
n
+
1
)
=
n
⋅
Γ
(
n
)
=
…
=
n
!
⋅
Γ
(
1
)
=
n
!
{\displaystyle \Gamma (n+1)=n\cdot \Gamma (n)=\ldots =n!\cdot \Gamma (1)=n!}
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)}
мероморфной на комплексной плоскости и имеющей полюса в точках
z
=
0
,
−
1
,
−
2
,
−
3
,
…
{\displaystyle z=0,\;-1,\;-2,\;-3,\;\ldots }
Иногда используется альтернативная запись, так называемая пи-функция , зависящая от гамма-функции следующим образом:
Π
(
z
)
=
Γ
(
z
+
1
)
=
z
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}
В интеграле выше, определяющем гамма-функцию, пределы интегрирования фиксированы. В неполной гамма-функции допускается, чтобы верхний либо нижний предел интегрирования был переменным. Неполную гамма-функцию часто обозначают как гамма-функцию от двух аргументов:
Γ
(
a
,
z
)
=
∫
0
z
e
−
t
t
a
−
1
d
t
{\displaystyle \Gamma (a,z)=\int \limits _{0}^{\mathrm {z} }\!{e^{-t}t^{a-1}\,dt}}
График модуля гамма-функции на комплексной плоскости. формула дополнения
Γ
(
1
−
z
)
Γ
(
z
)
=
π
sin
π
z
{\displaystyle \Gamma (1-z)\Gamma (z)={\pi \over \sin \pi z}}
Наиболее известные значения гамма-функции от нецелого аргумента это
Γ
(
1
2
)
=
π
.
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}.}
Γ
(
3
2
)
=
π
2
.
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}.}
Гамма-функция имеет полюс в
z
=
−
n
{\displaystyle z=-n}
n
{\displaystyle n}
вычет в этой точке задается так
R
e
s
z
=
−
n
Γ
(
z
)
=
(
−
1
)
n
n
!
{\displaystyle \operatorname {\mathrm {Res} } _{z=-n}\,\Gamma (z)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}}
Следующее бесконечное произведение для гамма-функции, как показал Вейерштрасс , верно для всех комплексных
z
{\displaystyle z}
Γ
(
z
)
=
e
−
γ
z
z
∏
k
=
1
∞
(
1
+
z
k
)
−
1
e
z
/
k
{\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{-1}e^{z/k}}
где
γ
{\displaystyle \gamma }
константа Эйлера . формула, полученная Гауссом :
Γ
(
z
)
Γ
(
z
+
1
n
)
…
Γ
(
z
+
n
−
1
n
)
=
n
1
2
−
n
z
⋅
(
2
π
)
n
−
1
2
Γ
(
n
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{n}}\right)\ldots \Gamma \left(z+{\frac {n-1}{n}}\right)=n^{{\frac {1}{2}}-nz}\cdot (2\pi )^{\frac {n-1}{2}}\Gamma (nz)}
Основное, но полезное свойство, которое может быть получено из предельного определения:
Γ
(
z
)
¯
=
Γ
(
z
¯
)
{\displaystyle {\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\overline {z}})}
Гамма-функция дифференцируема бесконечное число раз, и
Γ
′
(
x
)
=
ψ
(
x
)
Γ
(
x
)
{\displaystyle \Gamma ^{\prime }(x)=\psi (x)\Gamma (x)}
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)}
дигамма-функцией .
Гамма-функция и бета-функция связаны следующим соотношением:
B
(
x
,
y
)
=
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
Γ
(
x
+
y
)
{\displaystyle \mathrm {B} (x,\;y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}}
