Обратная матрица

Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

\!AA^{-1}=A^{-1}A=E

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

Свойства обратной матрицы

$\det A^{-1}={\frac {1}{\det A}}$ , где $\ \det$ обозначает определитель.
$\ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ для любых двух обратимых матриц $A$ и $B$ .
$\ (A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$ где $*^{T}$ обозначает транспонированную матрицу.
$\ (kA)^{-1}=k^{-1}A^{-1}$ для любого коэффициента $k\not =0$ .
Если необходимо решить систему линейных уравнений $Ax=b$ , (b — ненулевой вектор) где $x$ — искомый вектор, и если $A^{-1}$ существует, то $x=A^{-1}b$ . В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.

Способы нахождения обратной матрицы

Если матрица обратима, то для нахождения обратной матрицы можно воспользоваться одним из следующих способов:

Точные (прямые) методы

Метод Гаусса—Жордана

Возьмём две матрицы: саму A и единичную E. Приведём матрицу A к единичной матрице методом Гаусса—Жордана. После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной A⁻¹.

При использовании метода Гаусса первая матрица будет умножаться слева на одну из элементарных матриц $\Lambda _{i}$ (трансвекцию или диагональную матрицу с единицами на главной диагонали, кроме одной позиции):

\Lambda _{1}\cdot \dots \cdot \Lambda _{n}\cdot A=\Lambda A=E\Rightarrow \Lambda =A^{-1}

.

\Lambda _{m}={\begin{bmatrix}1&\dots &0&-a_{1m}/a_{mm}&0&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &1&-a_{m-1m}/a_{mm}&0&\dots &0\\0&\dots &0&1/a_{mm}&0&\dots &0\\0&\dots &0&-a_{m+1m}/a_{mm}&1&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &0&-a_{nm}/a_{mm}&0&\dots &1\end{bmatrix}}

.

Вторая матрица после применения всех операций станет равна $\Lambda$ , то есть будет искомой. Сложность алгоритма — $O(n^{3})$ .

С помощью матрицы алгебраических дополнений

A^{-1}={\frac {1}{\det A}}\cdot C^{T}

C^{T}

— транспонированная матрица алгебраических дополнений;

Полученная матрица A⁻¹ и будет обратной. Сложность алгоритма зависит от сложности алгоритма расчета определителя O_det и равна O(n²)·O_det.

Иначе говоря, обратная матрица равна единице, делённой на определитель исходной матрицы и умноженной на транспонированную матрицу алгебраических дополнений элементов исходной матрицы.

Использование LU/LUP-разложения

Матричное уравнение $AX=I_{n}$ для обратной матрицы $X$ можно рассматривать как совокупность $n$ систем вида $Ax=b$ . Обозначим $i$ -ый столбец матрицы $X$ через $X_{i}$ ; тогда $AX_{i}=e_{i}$ , $i=1,\ldots ,n$ ,поскольку $i$ -м столбцом матрицы $I_{n}$ является единичный вектор $e_{i}$ . другими словами, нахождение обратной матрицы сводится к решению n уравнений с одной матрицей и разными правыми частями. После выполнения LUP-разложения (время O(n³)) на решение каждого из n уравнений нужно время O(n²), так что и эта часть работы требует времени O(n³)^[1].

Если матрица A невырождена, то для неё можно рассчитать LUP-разложение $PA=LU$ . Пусть $PA=B$ , $B^{-1}=D$ . Тогда из свойств обратной матрицы можно записать: $D=U^{-1}L^{-1}$ . Если умножить это равенство на U и L то можно получить два равенства вида $UD=L^{-1}$ и $DL=U^{-1}$ . Первое из этих равенств представляет собой систему из n² линейных уравнений для ${\frac {n(n+1)}{2}}$ из которых известны правые части (из свойств треугольных матриц). Второе представляет также систему из n² линейных уравнений для ${\frac {n(n-1)}{2}}$ из которых известны правые части (также из свойств треугольных матриц). Вместе они представляют собой систему из n² равенств. С помощью этих равенств можно реккурентно определить все n² элементов матрицы D. Тогда из равенства (PA)⁻¹ = A⁻¹P⁻¹ = B⁻¹ = D. получаем равенство $A^{-1}=DP$ .

В случае использования LU-разложения не требуется перестановки столбцов матрицы D но решение может разойтись даже если матрица A невырождена.

Сложность алгоритма — O(n³).

Итерационные методы

Методы Шульца

${\begin{cases}\Psi _{k}=E-AU_{k},\\U_{k+1}=U_{k}\sum _{i=0}^{n}\Psi _{k}^{i}\end{cases}}$

Оценка погрешности

Выбор начального приближения

Проблема выбора начального приближения $U_{0}~$ в рассматриваемых здесь процессах итерационного обращения матриц не позволяет относиться к ним как к самостоятельным универсальным методам, конкурирующими с прямыми методами обращения, основанными, например, на LU-разложении матриц. Имеются некоторые рекомендации по выбору $U_{0}~$ , обеспечивающие выполнение условия $\rho (\Psi _{0})<1~$ (спектральный радиус матрицы меньше единицы), являющегося необходимым и достаточным для сходимости процесса. Однако при этом, во-первых, требуется знать сверху оценку спектра обращаемой матрицы A либо матрицы $AA^{T}~$ (а именно, если A — симметричная положительно определённая матрица и $\rho (A)\leq \beta ~$ , то можно взять $U_{0}={\alpha }E~$ , где $\alpha \in \left(0,{\frac {2}{\beta }}\right)~$ ; если же A — произвольная невырожденная матрица и $\rho (AA^{T})\leq \beta ~$ , то полагают $U_{0}={\alpha }A^{T}~$ , где также $\alpha \in \left(0,{\frac {2}{\beta }}\right)~$ ; можно конечно упростить ситуацию и, воспользовавшись тем, что $\rho (AA^{T})\leq {\mathcal {k}}AA^{T}{\mathcal {k}}~$ , положить $U_{0}={\frac {A^{T}}{\|AA^{T}\|}}~$ ). Во-вторых, при таком задании начальной матрицы нет гарантии, что $\|\Psi _{0}\|~$ будет малой (возможно, даже окажется $\|\Psi _{0}\|>1~$ ), и высокий порядок скорости сходимости обнаружится далеко не сразу.