Среднее степенное

Среднее степени d (или просто среднее степенное) набора положительных вещественных чисел $x_{1},\ldots ,x_{n}$ определяется как

$A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\sqrt[{d}]{\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}^{d}}{n}}}$

При этом по непрерывности доопределяются следующие величины:

$A_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lim _{d\to 0}A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}$

$A_{+\infty }(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lim _{d\to +\infty }A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\max\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}$

$A_{-\infty }(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lim _{d\to -\infty }A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\min\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}$

Среднее степенное является частным случаем Колмогоровского среднего.

Другие названия

Т.к. среднее степени d обобщает известные с древности (т.н. архимедовы) средние, то его часто называют средним обобщённым.

По связи с неравенствами Минковского и Гёльдера среднее степенное имеет также названия: среднее по Гёльдеру и среднее по Минковскому.

Частные случаи

Средние степеней 0, ±1, 2 и $\pm \infty$ имеют собственные имена:

• $A_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})=m={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}$ называется средним арифметическим;

(иначе говоря: средним арифметическим n чисел является их сумма, деленная на n)

• $A_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n})=g={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}$ называется средним геометрическим;

(иначе говоря: средним геометрическим n чисел является корень n-ой степени из произведения этих чисел)

• $A_{-1}(x_{1},\ldots ,x_{n})=h={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}$ называется средним гармоническим.

(иначе говоря: средним гармоническим чисел является обратная величина к среднему арифметическому их обратных)

• $A_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n})=s={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}{n}}}$ называется средним квадратичным (квадратическим), известным так же под сокращением RMS (root-mean-square).
• В статистической практике также находят применение степенные средние третьего и более высоких порядков. Наиболее распространенными из них являются среднее кубическое и среднее биквадратическое значения.
• Максимальное и минимальное число из набора положительных чисел выражаются как средние степеней $+\infty$ и $-\infty$ этих чисел:

$\operatorname {max} \{x_{1},\ldots ,x_{n}\}=A_{+\infty }(x_{1},\ldots ,x_{n});$

$\operatorname {min} \{x_{1},\ldots ,x_{n}\}=A_{-\infty }(x_{1},\ldots ,x_{n}).$

Неравенство о средних

Неравенство о средних утверждает, что для $d_{1}>d_{2}$

$A_{d_{1}}(x_{1},\ldots ,x_{n})\geq A_{d_{2}}(x_{1},\ldots ,x_{n})$,

причем равенство достигается только в случае равенства всех аргументов $x_{1}=\ldots =x_{n}$.

Для доказательства неравенства о средних достаточно показать, что частная производная $A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ по $d$ неотрицательна и обращается в ноль только при $x_{1}=\ldots =x_{n}$ (например, используя неравенство Йенсена), и далее применить формулу конечных приращений.

Неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом

Частным случаем неравенства о средних является неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом

$\max\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}\geq {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}\geq \left(x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n}\right)^{1/n}\geq {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\geq \min\{x_{1},\ldots ,x_{n}\},$

где каждое из неравенств обращается в равенство только при $x_{1}=\ldots =x_{n}$.

См. также

• Среднее квадратическое
• Среднее взвешенное
• Среднее Колмогорова
• Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим
• Неравенство Швейцера

Ссылки

• И. И. Жогин. О средних // Математическое просвещение. Вторая серия. — 1961. — Вып. 6. — С. 217-226.