Теорема Стокса

Теорема Стокса — одна из основных теорем дифференциальной геометрии и математического анализа об интегрировании дифференциальных форм, которая обобщает несколько теорем анализа. Названа в честь Дж. Г. Стокса.

Общая формулировка

Пусть на ориентируемом многообразии $M$ размерности $n$ заданы ориентируемое $p$-мерное подмногообразие $\sigma$ и дифференциальная форма $\omega$ степени $p-1$ класса $C^{1}$ ($1\leqslant p\leqslant n$). Тогда, если граница подмногообразия $\partial \sigma$ положительно ориентирована, то

$\int \limits _{\sigma }d\omega =\int \limits _{\partial \sigma }\omega ,$

где $d\omega$ обозначает внешний дифференциал формы $\omega$.

Теорема распространяется на линейные комбинации подмногообразий одной размерности, так называемые цепи. В этом случае формула Стокса реализует двойственность между когомологией де Рама и гомологией циклов многообразия $M$.

Частные случаи

Формула Ньютона — Лейбница

Пусть дана кривая $l$, соединяющая две точки $a$ и $b$ (одномерная цепь) в многообразии произвольной размерности. Форма $\omega$ нулевой степени класса $C^{1}$ — это дифференцируемая функция $f$. Формула Стокса тогда записывается в виде

$\int \limits _{l}df=\int \limits _{l}f'\,dx=\int \limits _{a}^{b}f'\,dx=f(b)-f(a).$

Теорема Грина

Пусть $M$ — плоскость, а $D$ — некоторая её ограниченная область с кусочно-гладкой жордановой границей. Форма первой степени, записанная в координатах $x$ и $y$ — это выражение $L\,dx+M\,dy$, и для интеграла этой формы по границе области $D$ верно

$\int \limits _{\partial D}L\,dx+M\,dy=\iint \limits _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dx\,dy.$

Вывод из теоремы Стокса

Определяя дифференциальную форму $\omega =L\,dx+M\,dy$, найдём её внешний дифференциал:

$d\omega =\left({\dfrac {\partial L}{\partial x}}\,dx+{\dfrac {\partial L}{\partial y}}\,dy\right)\wedge dx+\left({\dfrac {\partial M}{\partial x}}\,dx+{\dfrac {\partial M}{\partial y}}\,dy\right)\wedge dy.$

Принимая во внимание, что $dx\wedge dx=0$ и $dy\wedge dy=0$:

$d\omega ={\underset {-{\frac {\partial P}{\partial y}}\,dx\,\wedge \,dy}{\underbrace {{\dfrac {\partial P}{\partial y}}\,dy\wedge dx} }}+{\dfrac {\partial Q}{\partial x}}\,dx\wedge dy=\left({\dfrac {\partial Q}{\partial x}}-{\dfrac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dx\wedge dy.$

Отсюда используя теорему Стокса:

$\int \limits _{\partial D}L\,dx+M\,dy=\iint \limits _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dx\,dy.$

■

Независимое доказательство формулы Грина приведено в её основной статье.

Формула Кельвина — Стокса

Пусть $\Sigma$ — кусочно-гладкая поверхность ($p=2$) в трёхмерном евклидовом пространстве ($n=3$), $\mathbf {F}$ — дифференцируемое векторное поле. Тогда циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура $\partial \Sigma$ равна потоку ротора (вихря) поля через поверхность $\Sigma$, ограниченную контуром:

$\int \limits _{\Sigma }\mathrm {rot} \,\mathbf {F} \,d\mathbf {\Sigma } =\int \limits _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \,d\mathbf {r}$

или в координатной записи:

$\iint \limits _{\Sigma }\left({\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)\,dy\,dz+\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)\,dz\,dx+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\int \limits _{\partial \Sigma }P\,dx+Q\,dy+R\,dz.$

Вывод из теоремы Стокса

Рассмотрим дифференциальную форму $\omega =P\,dx+Q\,dy+R\,dz$. Тогда, используя свойство дифференциала дифференциальной формы $d(\omega _{F}^{1})=\omega _{\mathrm {rot} \,F}^{2}$:

$d\omega =\left({\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)\,dy\wedge dz+\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)\,dz\wedge dx+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dx\wedge dy.$

Отсюда, используя теорему Стокса:

$\iint \limits _{\Sigma }\left({\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)\,dy\,dz+\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)\,dz\,dx+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\int \limits _{\partial \Sigma }P\,dx+Q\,dy+R\,dz.$

■

Доказательство с использованием формулы Грина

Пусть ${\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(u(t),v(t))$. Тогда

$\iint _{\partial \Sigma }({\mathbf {a} },d{\mathbf {r} })=\int _{\alpha }^{\beta }(({\mathbf {a} }({\mathbf {r} }(u(t),v(t)))),r_{u}(u(t),v(t))u'(t)+r_{v}(u(t),v(t))v'(t))dt=\int _{\Omega }(a,r_{u})du+(a,r_{v})dv.$

Отсюда, используя формулу Грина, получаем $\int _{\partial \Sigma }({\mathbf {a}},d{\mathbf {r}})=\iint _{\Omega }\left[{\frac {\partial }{\partial u}}{({\mathbf {a}},{\mathbf {r}}_{v})}-{\frac {\partial }{\partial v}}{({\mathbf {a}},{\mathbf {r}}_{u})}\right]dudv={}$

${}=\iint _{\Omega }\left({\frac {\partial {\mathbf {a}}}{\partial x}}x_{u}+{\frac {\partial {\mathbf {a}}}{\partial y}}y_{u}+{\frac {\partial {\mathbf {a}}}{\partial z}}z_{u},{\mathbf {r}}_{v}\right)dudv-\iint _{\Omega }\left({\frac {\partial {\mathbf {a}}}{\partial x}}x_{v}+{\frac {\partial {\mathbf {a}}}{\partial y}}y_{v}+{\frac {\partial {\mathbf {a}}}{\partial z}}z_{v},{\mathbf {r}}_{u}\right)dudv$ ${}=\iint _{\Omega }[({\mathbf {r}}_{v},({\mathbf {r}}_{u},\nabla ),{\mathbf {a}})-({\mathbf {r}}_{u},({\mathbf {r}}_{v},\nabla ),{\mathbf {a}})]dudv,$ что по определению вихря и есть требуемая величина:

$\iint _{\Omega }[({\mathbf {r}}_{v},({\mathbf {r_{u}}},\nabla ),{\mathbf {a}})-({\mathbf {r_{u}}},({\mathbf {r_{v}}},\nabla ),{\mathbf {a}})]dudv=\iint _{\Omega }({r_{u}},{r_{v}},\operatorname {rot} \;{\mathbf {a}})dudv=\iint _{\Sigma }(\operatorname {rot} \;{\mathbf {a}},{\mathbf {n}})dS.$ ■

Формула Остроградского

Пусть теперь $\partial V$ — кусочно-гладкая гиперповерхность ($p=n-1$), ограничивающая некоторую область $V$ в $n$-мерном пространстве. Тогда интеграл дивергенции поля по области равен потоку поля через границу области $\partial V$:

$\int \limits _{V}\mathrm {div} \,\mathbf {F} \,dV=\int \limits _{\partial V}\mathbf {F} \,d\mathbf {\Sigma } .$

Что эквивалентно записи:

$\int \limits _{\partial V}\mathbf {F} \,d\mathbf {\Sigma } =\int \limits _{V}\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}+{\frac {\partial R}{\partial z}}\right)\,d\mathbf {V}$

или

$\iint \limits _{\partial V}P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy=\iiint \limits _{V}\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}+{\frac {\partial R}{\partial z}}\right)\,dx\,dy\,dz.$

Вывод из теоремы Стокса

Рассмотрим дифференциальную форму $\omega =P\,dy\wedge dz+Q\,dz\wedge dx+R\,dx\wedge dy$. Тогда, используя свойство дифференциала дифференциальной формы $d(\omega _{F}^{2})=\omega _{\mathrm {div} \,F}^{3}$:

$d\omega =\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}+{\frac {\partial R}{\partial z}}\right)\,dx\wedge dy\wedge dz.$

Отсюда, используя теорему Стокса:

$\iint \limits _{\partial V}P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy=\iiint \limits _{V}\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}+{\frac {\partial R}{\partial z}}\right)\,dx\,dy\,dz.$

■

Литература

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления — Т. 3
• Арнольд В. И. Математические методы классической механики (djvu)
• Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.

См. также

• Векторный анализ
• Дифференциальная форма
• Формулы векторного анализа
• Дифференциальные геометрия и топология