Квазигруппа (математика)

Квазигруппа — магма, в которой всегда возможно деление. В отличие от группы, квазигруппа не обязана быть ассоциативной.

Определения и свойства

Квазигруппой называют пару (Q, *) из множества Q с бинарной операцией * : Q × Q → Q, удовлетворяющей следующему условию: для любых элементов a и b из Q найдутся единственные элементы x и y из Q, такие что

• a * x = b
• y * a = b

Решения этих уравнений иногда записывают так:

• x = a \ b
• y = b / a

Операции \ и / называют левым делением и правым делением.

Квазигруппу с единицей называют также лупой (от англ. loop — петля).

Если между элементами двух квазигрупп Q и R можно установить биекцию (то есть они совпадают как множества), говорят, что Q и R имеют одинаковый порядок. Если при этом существуют перестановки A, B, C, действующие на элементах этих квазигрупп, такие что

• (x, y) = [xA, yB]C

(здесь (,) и [ , ] — операции в Q и R соответственно), то такие квазигруппы называют изотопными.

Для любой квазигруппы существует лупа, которой она изотопна. Если же лупа изотопна группе, то эта лупа является группой. В более общем случае: если полугруппа изотопна лупе, то они изоморфны и обе изоморфны некоторой группе. Изотопия, в некотором смысле, эквивалентна изоморфизму групп, но существуют квазигруппы изотопные, но не изоморфные группам.

Любой латинский квадрат является таблицей умножения (таблицей Кэли) квазигруппы.

Примеры

• Любая группа является также и квазигруппой, так как a * x = b $\Leftrightarrow$ x = a⁻¹ * b, y * a = b $\Leftrightarrow$ y = b * a⁻¹.
• Целые числа ($\mathbb {Z}$) с операцией вычитания (−) являются квазигруппой.
• Ненулевые рациональные числа $\mathbb {Q}$ (или вещественные — $\mathbb {R}$) с операцией деления (÷) являются квазигруппой.
• Множество {±1, ±i, ±j, ±k} где ii = jj = kk = +1 и все остальные произведения определяются также, как в кватернионах является квазигруппой с единицей (лупой).
• Любое векторное пространство над полем вещественных чисел относительно операции x * y = (x + y) / 2 образует структуру идемпотентной, коммутативной квазигруппы.

Литература

• Белоусов В. Д. "Основы теории квазигрупп и луп" — М.: Наука, 1967. - 224с.
• Sabinin L. V. Smooth quasigroups and loops. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999. - 257p
• Сабинин Л. В. "Аналитические квазигруппы и геометрия" М.: УДН, 1991. - 112с.
• Сабинин Л. В., Михеев П. О. Теория гладких луп Бола. М.: Издательство УДН, 1985. - 81с.
• "Квазигруппы и лупы" (вып. 51). Валуцэ И. И. (ред.) и др. Сборник научных работ. Кишинёв: Штиинца, 1979. - 168с.
• Белоусов В.Д. "Аналитические сети и квазигруппы" Кишинёв: Штиинца, 1971. - 168с.
• Михеев П. О., Сабинин Л. В. "Гладкие квазигруппы и геометрия", Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геом., Том 20. М.: ВИНИТИ, 1988. 75–110.
• Курош А. Г. "Общая алгебра. Лекции 1969-1970 учебного года" М.: Наука, 1974. - 160с. Параграфы 5 и 6.
• Галкин В. М. Квазигруппы в сборнике статей Алгебра, топология, геометрия. Том 26, 1988 г.Итоги науки и техн. Сер. Алгебра, топол., геом. Том 26. М.: ВИНИТИ, 1988. С. 3-44.