Разложение Холецкого

Разложе́ние Холе́цкого — представление симметричной положительно-определённой матрицы $A$ в виде $A=LL^{T}$, где $L$ — нижняя треугольная матрица со строго положительными элементами на диагонали. Иногда разложение записывается в эквивалентной форме: $A=U^{T}U$, где $U=L^{T}$ — верхняя треугольная матрица. Разложение Холецкого всегда существует и единственно для любой симметричной положительно-определённой матрицы.

Существует также обобщение этого разложения на случай комплекснозначных матриц. Если $A$ — положительно-определённая эрмитова матрица, то существует разложение $\!A=LL^{*}$, где $L$ — нижняя треугольная матрица с положительными действительными элементами на диагонали, а $\!L^{*}$ — эрмитово-сопряжённая к ней матрица.

Разложение названо в честь французского математика Андре-Луи Холецкого (1875-1918).

Алгоритм

Элементы матрицы $L$ можно вычислить, начиная с верхнего левого угла матрицы, по формулам:

$L_{ii}={\sqrt {A_{ii}-\sum _{k=1}^{i-1}L_{ik}^{2}}}$

$L_{ij}={\frac {1}{L_{jj}}}\left(A_{ij}-\sum _{k=1}^{j-1}L_{ik}L_{jk}\right)$, если $j<i$.

Выражение под корнем всегда положительно, если $A$ — действительная положительно-определённая матрица.

Вычисление происходит сверху вниз, слева направо,т.е. сперва $L_{ij}$, а затем $L_{ii}$.

Для комплекснозначных эрмитовых матриц используются формулы:

$L_{ii}={\sqrt {A_{ii}-\sum _{k=1}^{i-1}L_{ik}L_{ik}^{*}}}$

$L_{ij}={\frac {1}{L_{jj}}}\left(A_{ij}-\sum _{k=1}^{j-1}L_{ik}L_{jk}^{*}\right)$, если $j<i$.

Приложения

Это разложение может применяться для решения системы линейных уравнений $Ax=b$, если матрица $A$ симметрична и положительно-определена. Такие матрицы часто возникают, например, при использовании метода наименьших квадратов и численном решении дифференциальных уравнений.

Выполнив разложение $A=LL^{T}$, решение $x$ получается последовательным решением двух треугольных систем уравнений: $Ly=b$ и $L^{T}x=y$. Такой способ решения иногда называется методом квадратных корней. По сравнению с более общими методами, такими как метод Гаусса или LU-разложение, он устойчивее численно и требует примерно вдвое меньше арифметических операций.

Разложение Холецкого также применяется в методах Монте-Карло для генерации коррелированных случайных величин. Пусть $X$ — вектор из независимых стандартных нормальных случайных величин, а $\Sigma =LL^{T}$ — желаемая ковариационная матрица. Тогда вектор $Y=LX$ будет иметь многомерное нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей $\Sigma$.

Реализация в математических пакетах программ

• В SAS используется функция ROOT( matrix ), входящая в пакет SAS IML.
• В системах MATLAB, Octave, R разложение выполняется командой U = chol(A).
• В Maple и NumPy существует процедура cholesky в модуле linalg.
• В Mathematica используется процедура CholeskyDecomposition[A].
• В GSL используется функция gsl_linalg_cholesky_decomp.
• В библиотеке от Google ceres-solver.