Интегральная показательная функция

Основное определение

Интегральная показательная функция — специальная функция, определяемая интегралом:

$\operatorname {Ei} (z)=\int \limits _{-\infty }^{z}{\frac {e^{t}}{t}}\,\mathrm {d} t=\gamma +\operatorname {ln} (-z)+\sum \limits _{n\geq 1}{\frac {z^{n}}{n!\cdot n}},\;|\arg(-z)|<\pi ,\;(1)$

определённым на всей комплексной плоскости, за исключением разреза вдоль положительной вещественной оси.

Альтернативное определение

Нередко вместо (1) используется альтернативное [несовместимое с (1)] определение

$\operatorname {Ei} (x)=v.p.\int \limits _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\,\mathrm {d} t=\gamma +\operatorname {ln} |x|+\sum \limits _{n\geq 1}{\frac {x^{n}}{n!\cdot n}},\;x\in \Re .\;(2)$

Определение (2) совместимо с (1) только при отрицательных вещественных значениях аргумента.

Интеграл в смысле главного значения в (2) имеет различные разложения в ряд при положительных и отрицательных x, что затрудняет его аналитическое продолжение на комплексную плоскость [т.е. обобщение (2) на случай комплексных значений x].

Пример ошибки из-за путаницы с определениями функции Ei

В сравочнике Прудникова утверждается, что соотношение

$\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x\operatorname {cos} bx}{x^{2}+z^{2}}}\,\mathrm {d} x=-{\frac {1}{2}}[e^{-bz}\operatorname {Ei} (z)+e^{bz}\operatorname {Ei} (-z)]\;(2.5.10.12)$

справедливо при $\Re z>0$ и b>0.

На самом деле соотношение (2.5.10.12) справедливо только при положительных вещественных значениях параметров b и z при условии, что Ei определяется выражением (2).

См. также

• Интегральный логарифм
• Интегральный синус
• Интегральный косинус

Литература

• Математический Энциклопедический Словарь, М. 1995, с. 230.