Интегральная показательная функция
Основное определение
Интегральная показательная функция — специальная функция, определяемая интегралом[1]
где есть постоянная Эйлера. Подобно ряду для экспоненциальной функции, бесконечная сумма в (1) сходится в любой точке комплексной плоскости. Следовательно, точка ветвления целиком унаследована функцией от логарифмической функции. Поэтому не будем здесь рассматривать как многозначную аналитическую функцию; вместо этого сразу же зафиксируем главную ветвь (значение) логарифма[2] в (1) и далее будем считать, что – однозначная аналитическая функция, определённая на всей комплексной плоскости за исключением разреза вдоль положительной вещественной оси.
Возникновение при интегрировании произведения экспоненты на рациональную функцию
В качестве простого примера интеграла, сводящегося к интегральной показательной функции, рассмотрим (предполагая, что )
При интеграла (2) не существует. Случай отрицательных вещественных значений следует рассматривать как предельный:
Из (2) и из (3) следует, что при вещественных положительных значениях
где есть т.н. модифицированная интегральная показательная функция [1]:
С помощью формул (2) и (3) результат (4) несложно обобщить на произвольные комплексные значения параметра .
Интеграл (4) можно найти на стр. 320 справочника Прудникова[3], однако же приведённое там выражение, по-видимому, неверно.
Следует заметить, что вычисление подобных интегралов (в особенности при комплексных значениях параметров) опасно доверять системам компьютерной алгебры: если maxima честно признается, что не умеет его считать, то Mathematica посчитает неправильно.
Альтернативное определение
Нередко вместо (1) используется альтернативное [несовместимое с (1)] определение
Определение (2) совместимо с (1) только при отрицательных вещественных значениях аргумента.
Интеграл в смысле главного значения в (2) имеет различные разложения в ряд при положительных и отрицательных x, что затрудняет его аналитическое продолжение на комплексную плоскость [т.е. обобщение (2) на случай комплексных значений x].
См. также
Список литературы
- ↑ 1 2 Лебедев, Н. Н. Специальные функции и их приложения : []. — 2. — 1963.
- ↑ Заодно фиксируем также и главную ветвь аргумента:
- ↑ Прудников, А. П. Интегралы и ряды : [] / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. — 2. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2003. — Vol. т.1. — P. 320,561,622. — ISBN 5-9221-0323-7.