Каноническое преобразование

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Это старая версия этой страницы, сохранённая Teretalexev (обсуждение | вклад) в 20:21, 27 мая 2013 (Производящие функции). Она может серьёзно отличаться от текущей версии.
Перейти к навигации Перейти к поиску

В гамильтоновой механике каноническое преобразование  (также контактные преобразвания) — это преобразование канонических переменных и гамильтониана не меняющие общий вид уравнений Гамильтона для любой гамильтоновой системы. Канонические преобразования могут быть введены и в квантовом случае как не меняющие вид уравнений Гейзенберга. Они позволяют свести задачу с определённым гамильтонианом к задаче с более простым гамильтонианом как в классическом, так и в квантовом случае. Канонические преобразования образуют группу.

Определение

Преобразования

, где — число степеней свободы,

называются каноническими, если это преобразование переводит уравнения Гамильтона с функцией Гамильтона :

в уравнений Гамильтона с функцией Гамилтона :

Переменные и новыми координатами и импульсами, соответственно, а и старыми координатами и импульсами.

Производящие функции

Из инвариантности интеграла Пуанкаре-Картана и теореме Ли Хуа-чжуна можно получить:

где постоянную называют валентностью канонического преобразования, — полный дифференциал некоторой функции (предполагается, что и также выражены через старые переменные). Она называется производящей функцией канонического преобразования. Канонические преобразования взаимнооднозначно определяются производящей функцией и валентностью.

Канонические преобразования для которых называется унивалентными. Так как при заданной производящей функции различные изменяют выражения для новых координат через старые, а также для гамильтониана только на константу, то часто рассматривают только унивалентные канонические преобразования.

Производящая функция часто может быть выражена не через старые координаты и импульсы, а через любые две из четырёх переменных , причём выбор независим для каждого . Удобным оказывается выразить её так, чтобы для каждого одна переменная был новой, а другая старой. Существует лемма утверждающая, что это можно сделать всегда. Дифференциал функции имеет явный вид полного дифференциала в том случае, когда она выражена через старые и новые координаты . При использовании других пар координат удобно перейти к функциям, дифференциал которых будет иметь явный вид полного дифференциала для соответствующих переменных. Для этого нужно сделать преобразования Лежандра исходной функции . Полученные функции называют производящими функциями канонического преобразования в соответствующих координатах. В случае когда выбор координат одинаков для всех возможны четыре варианта выбора переменных, соответствующие функции принято обозначать номерами:

где для простоты введены векторы старых скоростей и импульсов , , аналогично и для новых скоростей и импульсов. О таких производящих функциях говорят как о производящих функциях 1-го, 2-го, 3-го или 4-го типа соответственно.

Производящая функция 1-го типа

Пусть  — произвольная невырожденная функция старых координат, новых координат и времени:

Тогда она задаёт каноническое преобразование по правилу

Связь с исходной производящей функцией:

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если неравен нулю якобиан:

Действие как производящая функция

Действие, выраженное как функция координат и импульсов конечной точки

задаёт каноническое преобразование гамильтоновой системы.

Литература

  • Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
    Книга в электронной библиотеке мехмата МГУ
  • Ландау Л. Д., Лифшиц E. M. §46. Канонические преобразования. Глава VII. Канонические уравнения. // Механика. — 5-е изд., стереотипное. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 224 с. — 3000 экз. — ISBN 5-9221-0055-6. Книга в электронной библиотеке мехмата МГУ
  • Гантмахер Ф. Р.  Лекции по аналитической механике. 3-е изд. — М.: Физматлит, 2005. — 264 с. — ISBN 5-9221-0067-X..
  • Ольховский И. И.  Курс теоретической механики для физиков. 4-е изд. — СПб.: Лань, 2009. — 576 с. — ISBN 978-5-8114-0857-3..