Классификатор подобъектов
В теории категорий, классификатор подобъектов — специальный объект Ω категории; интуитивно, подобъекты X соответствуют морфизмам из X в Ω. Способ, которым он «классифицирует» объекты можно описать как присвоение некоторым элементам X значения «истина».
Вводный пример
В категории множеств классификатор подобъектов — множество Ω = {0,1}, морфизмы в него соответствуют характеристическим функциям. Если χA — нкоторая характеристическая функция на множестве S, следующая даграмма является декартовым квадратом:
Здесь true: {0} → {0, 1} — каноничное отображение, отправляющее 0 в 1.
Определение
В общем случае можно рассмотреть произвольную категорию C, имеющую терминальный объект, который мы будем обозначать 1. Объект Ω категории C — классификатор подобъектов C, если существует морфизм
- 1 → Ω
со следующим универсальным свойством:
- для любого мономорфизма j: U → X существует единственный морфизм χ j: X → Ω, такой что слеюующая коммутативная диаграмма
- является диаграммой декартова произведения, то есть U — предел диаграммы
Морфизм χ j называется классифицирующим морфизмом для подобъекта, представленного мономорфизмом j.
См. также
Примечания
- Artin Michael, Alexander Grothendieck, Jean-Louis Verdier. Séminaire de Géometrie Algébrique IV. — Springer-Verlag, 1964.
- Goldblatt, Robert. Topoi: The Categorial Analysis of Logic. — North-Holland, Reprinted by Dover Publications, Inc (2006), 1983. — ISBN 0-444-85207-7.
- Johnstone, Peter. Topos Theory. — Academic Press, 1977. — ISBN 0-12-387850-0.
- Mac Lane, Saunders. Sheaves in Geometry and Logic: a First Introduction to Topos Theory. — Springer-Verlag, 1992. — ISBN 0-387-97710-4.
- Topos-physics: An explanation of Topos theory and its implementation in Physics Topos-physics, Where Geometry meets Dynamics
- С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4.