Гипоциклоида

ГипоцЫкло́Ыда (от греческих слов ὑπό — под, внизу и κύκλος — круг, окружность) — плоская кривая, образуемая точкой окружности, катящейся по внутренней стороне другой окружности без скольжения.

Уравнения

Параметрические уравнения:

{\begin{cases}x=r(k-1)\left(\cos t+{\frac {\cos((k-1)t)}{k-1}}\right)\\y=r(k-1)\left(\sin t-{\frac {\sin((k-1)t)}{k-1}}\right)\end{cases}}

где $\textstyle k={\frac {R}{r}}$ , где $R$ — радиус неподвижной окружности, $r$ — радиус катящейся окружности.

Почему это так

Пусть в начальный момент окружности касаются в точке А, лежащей на оси OX, где т.О - центр большой окружности. Координаты т.А при этом - (kr, 0), где R/r = k. Рассмотрим, как меняются координаты т.А, привязанной к катящейся окружности (т.А переходит в т.A'). Пусть маленькая окружность прокатилась так, что ее центр перешел из т.C в т.С' и повернулся относительно т.О на угол t. Во-первых, можно показать, что поворот маленькой окружности относительно своего центра при этом (т.е. угол между CA и C'A') равен t - kt = -(k-1)t. Во-вторых, координаты т.C' будут такими: ((k-1)r cos(t), (k-1)r sin(t)). Тогда, зная, куда перейдет центр катящейся окружности, и на какой угол она повернулась относительно этого центра, можно записать координаты т.А':

x = (k-1)r cos(t) + r cos((k-1)t)

y = (k-1)r sin(t) - r sin((k-1)t)

Модуль величины $k$ определяет форму гипоциклоиды. При $k=2$ гипоциклоида представляет собой диаметр неподвижной окружности, при $k=4$ является астроидой.