Матрица Яко́би (распространено неправильное произношение «матрица Я́коби») отображения
u
:
R
n
→
R
m
{\displaystyle \mathbf {u} \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}
x
∈
R
n
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}
отображения
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
x
{\displaystyle x}
Пусть задано отображение
u
:
R
n
→
R
m
,
u
=
(
u
1
,
…
,
u
m
)
,
u
i
=
u
i
(
x
1
,
…
,
x
n
)
,
i
=
1
,
…
,
m
,
{\displaystyle \mathbf {u} :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},\mathbf {u} =(u_{1},\ldots ,u_{m}),u_{i}=u_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),i=1,\ldots ,m,}
x
{\displaystyle x}
частные производные первого порядка.
Матрица
J
{\displaystyle J}
x
{\displaystyle x}
Якоби данной системы функций.
J
(
x
)
=
(
∂
u
1
∂
x
1
(
x
)
∂
u
1
∂
x
2
(
x
)
⋯
∂
u
1
∂
x
n
(
x
)
∂
u
2
∂
x
1
(
x
)
∂
u
2
∂
x
2
(
x
)
⋯
∂
u
2
∂
x
n
(
x
)
⋯
⋯
⋯
⋯
∂
u
m
∂
x
1
(
x
)
∂
u
m
∂
x
2
(
x
)
⋯
∂
u
m
∂
x
n
(
x
)
)
{\displaystyle J(x)={\begin{pmatrix}{\partial u_{1} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{1} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{1} \over \partial x_{n}}(x)\\{\partial u_{2} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{2} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{2} \over \partial x_{n}}(x)\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\{\partial u_{m} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{m} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{m} \over \partial x_{n}}(x)\end{pmatrix}}}
Если
m
=
n
{\displaystyle m=n}
определитель
|
J
|
{\displaystyle |J|}
определителем Якоби или якобиа́ном
u
1
,
…
,
u
n
{\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}}
Отображение называют невырожденным , если его матрица Якоби имеет максимальный возможный ранг :
r
a
n
k
J
=
min
(
m
,
n
)
{\displaystyle \mathrm {rank} \,J=\min(m,n)}
==
h>
