Параллелограмм

Параллелограмм

Параллелогра́мм (др.-греч. παραλληλόγραμμον от παράλληλος — параллельный и γραμμή — линия) — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

Свойства

• Противоположные стороны параллелограмма равны.

  $\left|AB\right|=\left|CD\right|,\left|AD\right|=\left|BC\right|$.

• Противоположные углы параллелограмма равны.

  $\angle A=\angle C,\angle B=\angle D.$

• Диагонали параллелограмма пересекаются и точка пересечения делит их пополам.

  $\left|AO\right|=\left|OC\right|,\left|BO\right|=\left|OD\right|$.

• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°( по признаку параллельных прямых).
• Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.
• Сумма всех углов равна 360°( сумма углов многоугольника = 180( n - 2), где n кол-во углов).
• Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон:

пусть а — длина стороны AB, b — длина стороны BC, $d_{1}$ и $d_{2}$ — длины диагоналей; тогда

$d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2(a^{2}+b^{2}).$

Доказательство

Проведя диагональ BD, мы получим два треугольника: ABD и BCD, которые равны, т.к. одна сторона у них общая, а соответственные углы при стороне BD равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AB||CD$, $BC||AD$, где BD - секущая. Из равенства треугольников следует: $|AB|=|CD|,|AD|=|BC|$ и ∠A = ∠С Противоположные углы ∠B и ∠D также равны, т.к. они представляют собой суммы равных углов.

Наконец, углы, прилежащие к одной стороне, например ∠A и ∠D, дают в сумме 180°, так как это углы внутренние односторонние при параллельных прямых.

По теореме косинусов: $d_{1}^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \angle A.$ Поскольку $\cos \angle D=-\cos \angle A$, то $d_{2}^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab\cos \angle A.$ Складывая полученные равенства: $d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2(a^{2}+b^{2}).$

• Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.

Признаки параллелограмма

Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий:

1. Противоположные стороны попарно равны: $~AB=CD,AD=BC$.
2. Противоположные углы попарно равны: $\angle A=\angle C,\angle B=\angle D$.
3. Диагонали делятся в точке их пересечения пополам: $~AO=OC,BO=OD$.
4. Сумма соседних углов равна 180 градусов: $\angle A+\angle B=180^{\circ },\angle B+\angle C=180^{\circ },\angle C+\angle D=180^{\circ },\angle D+\angle A=180^{\circ }$.
5. Противоположные стороны равны и параллельны: $AB=CD,AB\parallel CD$.
6. Сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырехугольника равна его полупериметру.
7. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон параллелограмма: $~AC^{2}+BD^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}$

Площадь параллелограмма

$S=a\times h$ , где $a$ — сторона, $h$ — высота, проведенная к этой стороне.

$S=a\times b\times \sin \alpha$, где $a$ и $b$ — стороны, а $\alpha$ — угол между сторонами a и b.

$S={\frac {1}{2}}AC\times BD\times \sin \angle AOB$.

См. также

• Трапеция
• Прямоугольник
• Ромб
• Дельтоид
• Параллелепипед
• Параллелограмм Вариньона