Дифференциалы высших порядков

Дифференциалом порядка n, где n > 1, от функции $~z$  в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка (n — 1), то есть

$~d^{n}z=d(d^{n-1}z)$  .

Дифференциал высшего порядка функции одной переменной

Для функции, зависящей от одной переменной $~z=f(x)$  второй и третий дифференциалы выглядят так:

$~d^{2}z=d(dz)=d(z'dx)=dz'dx=(z''dx)dx=z''dx^{2}$

$~d^{3}z=d(d^{2}z)=d(z''dx^{2})=dz''dx^{2}=(z'''dx)dx^{2}=z'''dx^{3}$

Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции $~z=f(x)$ :

$~d^{n}z=z^{(n)}dx^{n}$

При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что $~dx$ есть произвольное и не зависящее от $~x$ , которое при дифференцировании по $~x$  следует рассматривать как постоянный множитель.

Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных

Если функция $~z=f(x,y)$  имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка определяется так: $~d^{2}z=d(dz)$.

$d^{2}z=d({\frac {\partial z}{\partial x}}dx+{\frac {\partial z}{\partial y}}dy)=({\frac {\partial z}{\partial x}}dx+{\frac {\partial z}{\partial y}}dy)'_{x}dx+({\frac {\partial z}{\partial x}}dx+{\frac {\partial z}{\partial y}}dy)'_{y}dy=$

$=({\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}dx+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y\partial x}}dy)dx+({\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}dx+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}dy)dy$

$d^{2}z={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}dx^{2}+2{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}dxdy+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}dy^{2}$

$d^{2}z=({\frac {\partial }{\partial x}}dx+{\frac {\partial }{\partial y}}dy)^{2}z$

Символически общий вид дифференциала n-го порядка от функции $~z=f(x_{1},...,x_{n})$ выглядит следующим образом:

$d^{n}z=({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}dx_{1}+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}dx_{2}+...+{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}dx_{n})^{n}z$

где $~z=f(x_{1},x_{2},...x_{n})$, а  $~dx_{1},...,dx_{n}$ произвольные приращения независимых переменных $~x_{1},...,x_{n}$.
Приращения $~dx_{1},...,dx_{n}$  рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему. Сложность выражения дифференциала возрастает с увеличением числа переменных.

Неинвариантность дифференциалов высшего порядка

При  $n\geqslant 2$ , $~n$-й дифференциал не инвариантен (в отличие от инвариантности первого дифференциала), то есть выражение $~d^{n}f$ зависит, вообще говоря, от того, рассматривается ли переменная $~x$ как независимая, либо как некоторая промежуточная функция другого переменного, например, $x=\varphi (t)$.

Для доказательства неинвариантности дифференциалов высшего порядка достаточно привести пример.
При n = 2 и  $~y=f(x)=x^{3}$ :

• если  $~x$ — независимая переменная, то  $~d^{2}y=d^{2}f(x)=(x^{3})''(dx)^{2}=6x(dx)^{2}$
• если  $~x=\varphi (t)=t^{2}$  и  $~dx=d\varphi (t)=\varphi '(t)dt=2tdt$
  1. $~6x(dx)^{2}=6t^{2}(2tdt)^{2}=\color {BrickRed}{24t^{4}(dt)^{2}}$
  2. при этом,  $~y=x^{3}=(t^{2})^{3}=t^{6}$  и  $~d^{2}y=(t^{6})''(dt)^{2}=\color {BrickRed}{30t^{4}(dt)^{2}}$

С учётом зависимости $~x=t^{2}$, уже второй дифференциал не обладает свойством инвариантности при замене переменной. Также не инвариантны дифференциалы порядков 3 и выше.

Дополнения

• С помощью дифференциалов, функция $~F$  при условии существования её (n + 1) первых производных может быть представлена по формуле Тейлора:

• для функции с одной переменной:

$~{\mathcal {4}}F(x_{0})=dF(x_{0})+{\frac {d^{2}F(x_{0})}{2!}}+...+{\frac {d^{n}F(x_{0})}{n!}}+{\frac {d^{n+1}F(x_{0}+\theta {\mathcal {4}}x)}{n+1!}}$  ,  $~(0<\theta <1)$;

• для функции с несколькими переменными:

$~{\mathcal {4}}F(x_{0},y_{0})=dF(x_{0},y_{0})+{\frac {d^{2}F(x_{0},y_{0})}{2!}}+...+{\frac {d^{n}F(x_{0},y_{0})}{n!}}+{\frac {d^{n+1}F(x_{0}+\theta {\mathcal {4}}x,y_{0}+\theta {\mathcal {4}}y)}{n+1!}}$  ,  $~(0<\theta <1)$

• Если первый дифференциал равен нулю, а второй дифференциал функции $~f(x_{1},...,x_{n})$  явлется положительно определённым (отрицательно определенным), то точка $~(x_{1},...,x_{n})$  является точкой строгого минимума (соответственно строгого максимума); если же второй дифференциал функции $~f(x_{1},...,x_{n})$  является неопределённым, то в точке $~(x_{1},...,x_{n})$  нет экстремума.

Литература

• Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 1