Метод ван дер Пау

Метод ван дер Пау — четырёх-зондовый способ измерения величины удельного сопротивления и коэффициента Холла образца. Его применяют для измерения образца произвольной формы, пока образец является приблизительно двумерным, то есть толщина намного меньше, чем расстояние между контактами, и электроды помещены по его периметру.

Проведённые измерения позволяют рассчитать следующие свойства материала:

• удельное сопротивление материала;
• тип легирования (то есть является ли этот материал полупроводником p-типа или n-типа);
• концентрацию основных носителей;
• подвижность основных носителей тока.

Метод вначале был предложен Лео ван дер Пау в 1958 году.

Условия применимости

Есть пять условий, которые должны быть удовлетворены, чтобы использовать эту технику:

1. Образец должен иметь плоскую форму однородной толщины.
2. Образец не должен иметь никаких изолированных отверстий.
3. Образец должен быть гомогенным и изотропным (в отсутствие магнитного поля).
4. Все четыре контакта должны быть расположены на краях образца.
5. Область контакта любого индивидуального контакта должна быть по крайней мере на порядок меньше чем область всего образца.

Подготовка образцов

Чтобы использовать метод ван дер Пау, толщина образца должна быть намного меньше чем ширина и длина образца. Чтобы уменьшить ошибки в вычислениях, предполагается, что образец является симметричным. Не должно также быть никаких изолированных отверстий в пределах образца.

Возможное расположение контактов

Для измерений требуются наличие четырёх омических контактов помещенных на краях образца. Для их размещения нужно выполнить следующие условия:

• Они должны быть на границе образца (или так близко к краю насколько возможно).
• Они должны быть бесконечно маленькими. Фактически, они должны быть как можно меньше, поскольку ошибка приводит к поправкам порядка D/L, где D - средний диаметр контакта, и L - расстояние между контактами.

В дополнение к этому, все провода, идущие от контактов, должны быть сделаны из того же самого материала, чтобы минимизировать термоэлектрический эффект.

Проведение измерений

Для измерения ток пропускается между контактами 1 и 2 (смотрите расположение контактов на рисунке) (обозначается I₁₂), и напряжение измеряется с противоположных контактов 3 и 4 (обозначается V₃₄). Из этих двух величин можно получить сопротивление (для этого примера, $R_{12,34}$, используя закон Ома:

$R_{12,34}={\frac {V_{34}}{I_{12}}}$.

В своей статье, ван дер Пау показал, что удельное сопротивление образцов с произвольной формой можно определить, зная два из этих сопротивлений - одно, измеренное по вертикальному краю, типа $R_{12,34}$, и соответствующее, измеренное по горизонтальному краю, типа $R_{23,41}$. Фактическое удельное сопротивление образца связано с этими сопротивлениями по формуле ван дер Пау:

$e^{-\pi R_{12,34}/R_{s}}+e^{-\pi R_{23,41}/R_{s}}=1$

Вообще, из этой формулы в явном виде нельзя получить выражение для удельного сопротивление R_S в терминах известных функций. Самое известное исключение из этого, когда $R_{12,34}=R=R_{23,41}$ и удельное сопротивление

$R_{s}={\frac {\pi R}{\ln 2}}$.

Литература

• van der Pauw, L.J. (1958). "A method of measuring the resistivity and Hall coefficient on lamellae of arbitrary shape" (PDF). Philips Technical Review. 20: 220—224.
• Hall Effect Measurements  (неопр.). National Institute of Standards and Technology. Архивировано 17 мая 2012 года.