Равенство Парсеваля

Ра́венство Парсева́ля — это аналог теоремы Пифагора в векторных пространствах со скалярным произведением. Названо по аналогии с теоремой для периодических функций, сформулированой Парсевалем в 1799 году.

Формулировка

Пусть дано гильбертово пространство $(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$, где $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ — скалярное произведение, определённое на множестве $H$. Обозначим $\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$ индуцированную этим скалярным произведением норму. Тогда если $\{e_{k}\}_{k=1}^{\infty }$ — ортонормированный базис в $H$, то

$\|x\|^{2}=\sum _{k=1}^{\infty }\left|\langle x,e_{k}\rangle \right|^{2}.$

См. также

• Ряд Фурье

Литература

• Богачев В.И., Смолянов О.Г., Действительный и функциональный анализ: университетский курс. — М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009. — 724 с.

• Садовничий В.А., Теория операторов. — 2-е изд. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986. — 368 c.