Формула Планка

Формула Планка — выражение для спектральной плотности мощности излучения (Спектральной Плотности Энергетической Светимости) абсолютно чёрного тела, которое было получено Максом Планком. Для плотности энергии излучения $u(\omega ,T)$: $u(\omega ,T)={\frac {\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}{\frac {\hbar \omega }{e^{\frac {\hbar \omega }{kT}}-1}}$

Формула Планка («форма» зависимости $u$ от частоты и температуры) первоначально была «выведена» эмпирически. Формула Планка была получена после того, как стало ясно, что формула Рэлея—Джинса, которая следует из классической теории электромагнитного поля, удовлетворительно описывает излучение только в области длинных волн. С убыванием длин волн формула Рэлея—Джинса сильно расходится с эмпирическими данными. Более того, в пределе она даёт расхождение — бесконечную энергию излучения (ультрафиолетовая катастрофа). В связи с этим Планк в 1900 году сделал предположение, противоречащее классической физике, о том, что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций энергии (квантов), величина которых связана с частотой излучения выражением:

$\varepsilon =\hbar \omega$

Коэффициент пропорциональности $\hbar$ впоследствии назвали постоянной Планка, $\hbar$ = 1.054 · 10⁻²⁷ эрг·с. Это предположение позволило объяснить наблюдаемый спектр излучения теоретически.

Правильность формулы Планка подтверждается не только непосредственной эмпирической проверкой, но и следствиями из данной формулы, в частности из неё следует закон Стефана-Больцмана, также эмпирически подтверждённый. Кроме того, из неё выводятся также и приблизительные формулы, полученные до формулы Планка, — формула Вина и формула Рэлея-Джинса

Вывод для абсолютно чёрного тела

Излучение абсолютно чёрного тела

Вследствие линейности уравнений электромагнитного поля любое их решение может быть представлено в виде суперпозиции монохроматических волн, каждая с определённой частотой $\omega$. Энергия поля может быть представлена как сумма энергий соответствующих полевых осцилляторов. Как известно из квантовой механики, энергия осциллятора принимает дискретные значения согласно следующей формуле:

$E_{n}=\hbar \omega (n+1/2)$

Поскольку рассматривается равновесное излучение, то, используя каноническое распределение Гиббса, можно определить вероятность состояния осциллятора с заданной энергией:

$W_{n}=1/Ze^{-E_{n}/kT}$

Статистическая сумма $Z$ равна

$Z=\sum e^{-\hbar \omega (n+1/2)/kT}=e^{-1/2\hbar \omega /kT}\sum (e^{-\hbar \omega /kT})^{n}={\frac {e^{-1/2\hbar \omega /kT}}{1-e^{-\hbar \omega /kT}}}$

Свободная энергия равна

$\Psi =-kT\ln Z={\frac {\hbar \omega }{2}}+kT\ln(1-e^{-\hbar \omega /kT})$

Для средней (математическое ожидание) энергии воспользуемся уравнением Гиббса-Гельмгольца

${\overline {\varepsilon }}=\sum W_{n}E_{n}=\Psi -kT{\frac {\partial \Psi }{\partial (kT)}}=(kT)^{2}{\frac {\partial \ln Z}{\partial (kT)}}=(kT)^{2}({\frac {\hbar \omega }{2(kT)^{2}}}+{\frac {e^{-\hbar \omega /kT}\hbar \omega /(kT)^{2}}{1-e^{-\hbar \omega /kT}}})$

Таким образом средняя энергия, приходящаяся на полевой осциллятор равна

${\overline {\varepsilon }}={\frac {\hbar \omega }{2}}+{\frac {\hbar \omega }{\mathrm {exp} (\hbar \omega /kT)-1}},\qquad \qquad (1)$

где $\hbar$ — постоянная Планка, $k$ — постоянная Больцмана.

Количество же стоячих волн в единице объёма в трёхмерном пространстве в интервале от $(\omega ,\omega +d\omega )$ равно:

$\mathrm {d} n_{\omega }={\frac {\omega ^{2}\mathrm {d} \omega }{\pi ^{2}c^{3}}}\qquad \qquad (2)$

Следовательно, для спектральной плотности мощности электромагнитного излучения получаем

$u(\omega ,T)={\overline {\varepsilon }}{\frac {\mathrm {d} n_{\omega }}{\mathrm {d} \omega }}={\frac {\hbar {\omega }^{3}}{2\pi ^{2}c^{3}}}+{\frac {\hbar {\omega }^{3}}{\pi ^{2}c^{3}\mathrm {exp} (\hbar \omega /kT)-1}},\qquad \qquad$

Первое слагаемое в этой формуле связано с энергией нулевых колебаний, второе — это и есть формула Планка.

Формулу Планка также можно записать и через длину волны:

$u_{p}(\lambda ,T)={\frac {4\pi ^{2}\hbar c^{2}}{\lambda ^{5}(\mathrm {exp} (2\pi \hbar c/\lambda kT)-1)}},\qquad \qquad$ (5)

Вывод исходя из распределения Бозе-Эйнштейна

Фотоны являются бозонами и подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна. Для этой статистики среднее число частиц с данной энергией $\varepsilon$ равно

${\overline {n}}(\varepsilon )={\frac {1}{e^{\varepsilon /\Theta }-1}}$

По определению

$u(\varepsilon )d\varepsilon =\varepsilon n(\varepsilon )dN(\varepsilon )$

где $dN={\frac {\varepsilon ^{2}d\varepsilon }{\pi ^{2}c^{3}\hbar ^{3}}}$ — число осцилляторов (в единице объёма) электромагнитного поля с данной энергией в бесконечно малой окрестности $\varepsilon =\hbar \omega$.

Подставив формулу среднего числа бозонов с данной энергией в эту формулу и получим формулу Планка

Переход к формулам Рэлея—Джинса

Формула Планка точно согласуется с экспериментальными данными во всём интервале частот от 0 до $\infty$. При малых частотах (больших длинах волн), когда $\hbar \omega /kT\ll 1$ можно разложить экспоненту по $\hbar \omega /kT$. В результате получим, что $\mathrm {exp} (\hbar \omega /kT)-1\approx 1+\hbar \omega /kT-1=\hbar \omega /kT$, тогда (1) и (2) переходят в формулу Рэлея—Джинса.

$u(\omega ,T)=kT{\frac {\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}$ и

$f(\omega ,T)=kT{\frac {\omega ^{2}}{4\pi ^{2}c^{2}}}$

Переход к закону Стефана — Больцмана

Энергетическая светимость равна площади, ограниченной графиком функции f(ω,Т)

Для энергетической светимости следует записать интеграл:

$R=\int _{0}^{\infty }f(\omega ,T)\mathrm {d} \omega =\int _{0}^{\infty }{\frac {\hbar \omega ^{3}}{4\pi ^{2}c^{2}}}\cdot {\frac {\mathrm {d} \omega }{\mathrm {exp} (\hbar \omega /kT)-1}}$

Введём переменную $x=\hbar \omega /kT$, тогда $\omega =(kT/\hbar )x$, $\mathrm {d} \omega =(kT/\hbar )\mathrm {d} x$, получим

$R={\frac {\hbar }{4\pi ^{2}c^{2}}}\cdot \left({\frac {kT}{\hbar }}\right)^{4}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{3}\mathrm {d} \mathrm {x} }{\mathrm {e} ^{x}-1}}.$

Полученный интеграл имеет точное значение: $~\pi ^{4}/15$, подставив его получим известный закон Стефана — Больцмана:

$R={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60c^{2}\hbar ^{3}}}T^{4}=\sigma T^{4}$

Подстановка численных значений констант даёт значение для $\sigma =5,66961\cdot 10^{-8}$ Вт/(м²$\cdot$ $K^{4}$), что хорошо согласуется с экспериментом.

Переход к закону смещения Вина

Для нахождения закона, по которому происходит смещение максимума φ(λ,Т) в зависимости от температуры, надо исследовать функцию φ(λ,Т) на максимум.

Для перехода к закону Вина, необходимо продифференцировать выражение (5) (Это еще какое такое нахрен выражение (5)?) по $\lambda$ и приравнять нулю (поиск экстремума):

${\frac {\mathrm {d} u_{p}(\lambda ,T)}{\mathrm {d} \lambda }}={\frac {4\pi ^{2}\hbar c^{2}\left\{{\frac {2\pi \hbar c}{kT\lambda }}\mathrm {exp} \left({\frac {2\pi \hbar c}{kT\lambda }}\right)-5\left[\mathrm {exp} \left({\frac {2\pi \hbar c}{kT\lambda }}\right)-1\right]\right\}}{\lambda ^{6}\left[\mathrm {exp} \left({\frac {2\pi \hbar c}{kT\lambda }}\right)-1\right]^{2}}}=0$.

Значение $\lambda _{m}$, при котором функция достигает максимума, обращает в нуль выражение, стоящее в фигурных скобках. Обозначим ${\frac {2\pi \hbar c}{kT\lambda _{m}}}=x$, и получится уравнение:

$~xe^{x}-5(e^{x}-1)=0$.

Решение такого уравнения даёт x=4,96511. Следовательно, ${\frac {2\pi \hbar c}{kT\lambda _{m}}}=4,965$, отсюда немедленно получается:

$T\lambda _{m}={\frac {2\pi \hbar c}{4.965k}}=b$.

Численная подстановка констант даёт значение для b=0,0028999 К·м, совпадающее с экспериментальным, а также удобную приближённую формулу $\lambda _{\max }T\approx 3000\quad$ мкм·К. Так, солнечная поверхность имеет максимум интенсивности в зелёной области (0,5 мкм), что соответствует температуре около 6000 К.

Литература

• Планк М. Об одном улучшении закона излучения Вина. Избранные научные труды. Русский пер. из сборника под ред. А. П. Виноградова, стр.249
• Планк М. К теории распределения энергии излучения нормального спектра. Избранные научные труды. Русский пер. из сборника под ред. А. П. Виноградова, стр. 251

Ссылки

• Симулятор излучения абсолютно чёрного тела