Гипотеза Била

Гипотеза Била — гипотеза в теории чисел, обобщение великой теоремы Ферма. Предложена в 1993 году техасским миллиардером и математиком-любителем Эндрю Билом (англ. Andrew Beal), который учредил премию за её доказательство или опровержение в $100 тыс., а в 2013 году увеличил эту премию до $1 млн.

Формулировка

Если

$A^{x}+B^{y}=C^{z},$

где $A,\;B,\;C,\;x,\;y,\;z$ — натуральные и $x,\;y,\;z>2$, то $A,\;B,\;C$ имеют общий простой делитель.

Связь с великой теоремой Ферма

При условии справедливости гипотезы великую теорему Ферма можно доказать от противного:

Пусть существуют натуральные числа n > 2 и A, B, C такие, что $A^{n}+B^{n}=C^{n}$, причем C — минимально возможное. Тогда гипотеза Биля для x = y = z = n влечёт, что существует простое число p делящее каждое из чисел A, B и C. Но тогда $(A/p)^{n}+(B/p)^{n}=(C/p)^{n}$, что противоречит минимальности выбора C. Полученное противоречие означает, что требуемых натуральных чисел n, A, B, C не существует, то есть, великая теорема Ферма доказана.

Проверка

По состоянию на 2013 год гипотеза проверена для случаев, когда значения всех шести чисел не превосходят 1000. В 24 марта 2014 года состоялся официальный запуск проекта распределённых вычислений Beal@Home на платформе BOINC. Проект пытается найти доказательство теоремы путем подбора чисел.

Ссылки

• The Beal Conjecture
• The Beal Conjecture and Prize
• R. Daniel Mauldin (1997). "A Generalization of Fermat's Last Theorem: The Beal Conjecture and Prize Problem" (PDF). Notices of the AMS. 44 (11): 1436–1439.
• Beal's Conjecture (англ.) на сайте PlanetMath. (недоступная ссылка с 06-06-2013 [4229 дней])