Среднее степенное

Среднее степени d набора положительных вещественных чисел $x_{1},\ldots ,x_{n}$ определяется как

$~A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\sqrt[{d}]{\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{d} \over n}}$

При этом по непрерывности доопределяются следующие величины

$A_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lim _{d\to 0}A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}$

$A_{+\infty }(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lim _{d\to +\infty }A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\max\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}$

$A_{-\infty }(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lim _{d\to -\infty }A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\min\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}$

Средние степеней 1, 0, −1 и 2 имеют собственные имена:

• $A_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})=m={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}$ называется средним арифметическим;

(иначе говоря: среднее арифметическое n чисел, является их сумма, деленная на n)

• $A_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n})=g={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}$ называется средним геометрическим;

(иначе говоря: среднее геометрическое n чисел, является корень n-ой степени из произведения этих чисел)

• $A_{-1}(x_{1},\ldots ,x_{n})=h=(\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{x_{i}}})^{-1}$ называется средним гармоническим.
• $A_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n})=s={\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}}{n}}}$ называется средним квадратичным.

Неравенство о средних

Неравенство о средних утверждает, что для $d_{1}>d_{2}$

$A_{d_{1}}(x_{1},\ldots ,x_{n})\geq A_{d_{2}}(x_{1},\ldots ,x_{n})$,

причем равенство достигается только в случае равенства всех аргументов $x_{1}=\ldots =x_{n}$.

Для доказательства неравенства о средних достаточно показать, что частная производная $A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ по $d$ неотрицательна и обращается в ноль только при $x_{1}=\ldots =x_{n}$ (а далее, например, применить формулу конечных приращений).

Неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом

Частным случаем неравенства о средних является неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом

$\max\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}\geq {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}\geq \left(x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n}\right)^{1/n}\geq {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\geq \min\{x_{1},\ldots ,x_{n}\},$

где каждое из равенств достигается только при $x_{1}=\ldots =x_{n}$.

См. также

• Среднее квадратическое
• Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим
• Неравенство Швейцера