Единичная матрица

Едини́чная ма́трица — квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице поля, а остальные равны нулю.

Определение

Квадратная матрица $E_{n}=(e_{ij})$ размера (порядка $n$), где $e_{ii}=1$ для всякого $i\in {\overline {1,n}}$, и $e_{ij}=0$ для всяких $i\neq j$, называется единичной матрицей порядка $n$.

Единичную матрицу можно определить как матрицу $(e_{ij})$, у которой $e_{ij}=\delta _{ij}$, где $\delta _{ij}$ - символ Кронекера.

Единичная матрица является частным случаем скалярной матрицы.

Обозначение

Единичная матрица размера $n\times n$ обычно обозначается $E_{n}$ и имеет вид:

$E_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}},$

Так же используется и другое обозначение: $I_{n}$.

Если из контекста ясно, какого размера матрица, то нижний индекс (указывающий порядок) опускается: $E$, $I$.

Свойства

• Произведение любой матрицы и единичной матрицы подходящего размера равно самой матрице:

$AE=EA=A$

• Квадратная матрица в нулевой степени дает единичную матрицу того же размера:

$A^{0}=E$

• При умножении матрицы на обратную ей тоже получается единичная матрица:

$\!AA^{-1}=E$

• Единичная матрица получается при умножении ортогональной матрицы на её транспонированную матрицу:

$AA^{T}=E$

• Определитель единичной матрицы равен единице:

$\mathrm {det} \,E=1$.

Примеры

Единичные матрицы первых порядков имеют вид

$E_{1}={\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}},\ E_{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\ E_{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

Замечание

Если взять две матрицы - матрицу $A$ и единичную $E$, то приведением матрицы $A$ к треугольной методом Гаусса можно добиться одновременного приведения матрицы $E$ к матрице $A^{-1}$. Для этого необходимо производить над единичной матрицей те же преобразования, какие производятся при приведении $A$ к треугольной. Матрица, полученная из единичной матрицы $E$ будет равна $A^{-1}$.

Литература

• См. список литературы по линейной алгебре

См. также

• Нулевая матрица