Банахово пространство

Бана́хово пространство — нормированное векторное пространство, полное по метрике, порождённой нормой. Основной объект изучения функционального анализа. Названо по имени польского математика Стефана Банаха (1892—1945), который с 1922 года систематически изучал эти пространства, используя введённую им аксиоматику.

Примеры

Некоторые примеры банаховых пространств (далее через $K$ обозначено одно из полей $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$ ):

Евклидовы пространства $K^{n}$ с евклидовой нормой, определяемой для $x=(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})$ как $\|x\|={\sqrt {\sum |x_{i}|^{2}}}$ , являются банаховыми пространствами.
Пространство всех непрерывных функций $f\colon [a,\;b]\to K$ , определённых на закрытом интервале $[a,\;b]$ будет банаховым пространством, если мы определим его норму как $\|f\|=\sup\{|f(x)|\colon x\in [a,\;b]\}$ . Такая функция будет нормой, так как непрерывные функции на закрытом интервале являются ограниченными. Пространство с такой нормой является полным, а полученное банахово пространство обозначается как $C[a,b]$ . Этот пример можно обобщить к пространству $C(X)$ всех непрерывных функций $X\to K$ , где $X$ — компактное пространство, или к пространству всех ограниченных непрерывных функций $X\to K$ , где $X$ — любое топологическое пространство, или даже к пространству $B(X)$ всех ограниченных функций $X\to K$ , где $X$ — любое множество. Во всех этих примерах мы можем перемножать функции, оставаясь в том же самом пространстве: все эти примеры являются банаховыми алгебрами.
Если $p\geqslant 1$ — вещественное число, то пространство всех бесконечных последовательностей $(x_{1},\;x_{2},\;x_{3},\;\ldots )$ элементов из $K$ , таких что ряд $\sum |x_{i}|^{p}$ сходится, является банаховым относительно нормы, равной корню степени $p$ из суммы этого ряда, и обозначается $l^{p}$ .
Банахово пространство $l^{\infty }$ состоит из всех ограниченных последовательностей элементов из $K$ ; норма такой последовательности определяется как точная верхняя грань абсолютных величин (модулей) элементов последовательности.
Снова, если $p\geqslant 1$ — вещественное число, можно рассматривать все функции интегрируемыми по Лебегу. Корень степени $p$ этого интеграла определим как норму $f$ . Само собой, это пространство не будет банаховым, поскольку есть ненулевые функции, чья норма будет равна нулю. Определим отношение эквивалентности следующим образом: $f$ и $g$ эквивалентны тогда и только тогда, когда норма $f-g$ равна нулю. Множество классов эквивалентности тогда является банаховым пространством; оно обозначается как $L^{p}[a,\;b]$ . Важно использовать именно интеграл Лебега, а не интеграл Римана, поскольку интеграл Римана не порождает полное пространство. Эти примеры можно обобщить. См., например, L^p-пространства.
Если $X$ и $Y$ — банаховы пространства, то можно составить их прямую сумму $X\oplus Y$ , которая опять-таки будет банаховым пространством. Можно и обобщить этот пример к прямой сумме произвольно большого числа банаховых пространств.
Если $M$ — замкнутое подпространство банахова пространства $X$ , то факторпространство $X/M$ снова является банаховым.
Любое гильбертово пространство тоже является банаховым. Обратное неверно.
Если $V$ $V$ и $W$ $W$ — банаховы пространства над одним полем $K$ $K$ , тогда множество непрерывных $K$ -линейных отображений $A\colon V\to W$ $A\colon V\to W$ обозначается $L(V,\;W)$ $L(V,\;W)$ . Заметим, что в бесконечномерных пространствах не все линейные отображения автоматически являются непрерывными. $L(V,\;W)$ $L(V,\;W)$ — векторное пространство, и, если норма задана как $\|A\|=\sup\{\|Ax\|\colon x\in V,\;\|x\|\leqslant 1\}$ $\|A\|=\sup\{\|Ax\|\colon x\in V,\;\|x\|\leqslant 1\}$ , является также и банаховым.
- Пространство $L(V)=L(V,\;V)$ представляет собой унитарную банахову алгебру; операция умножения в ней задаётся как композиция линейных отображений.