Теорема Вейерштрасса о функции на компакте

Теоре́ма Вейерштра́сса в математическом анализе и общей топологии гласит, что функция, непрерывная на компакте, ограничена на нём и достигает своих верхней и нижней граней.

Случай действительных чисел

В частном случае функций действительной переменной (который обычно излагается в учебниках матанализа), теорема формулируется так:

Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ , то она ограничена на нем и притом достигает своих минимального и максимального значений, т.е. существуют $x_{m},\;x_{M}\in [a,\;b]$ такие, что $f(x_{m})\leq f(x)\leq f(x_{M})$ для всех $x\in [a,b]$ .

Доказательство

В силу полноты действительных чисел существует (конечная или бесконечная) точная верхняя грань $M=\sup _{x\in [a,b]}f(x)$ . Поскольку $M$ - точная верхняя грань, существует последовательность $x_{n}$ такая, что $\lim f(x_{n})=M$ . По теореме Больцано — Вейерштрасса из последовательности $x_{n}$ можно выделить сходящуюся подпоследовательность $x_{n_{k}}$ , предел которой (назовем его $x_{M}$ ) также принадлежит отрезку $[a,b]$ . В силу непрерывности функции $f$ имеем $f(x_{M})=\lim f(x_{n_{k}})$ , но с другой стороны $\lim f(x_{n_{k}})=\lim f(x_{n})=M$ . Таким образом, точная верхняя грань $M$ конечна и достигается в точке $x_{M}$ .

Для нижней грани доказательство аналогично.

Замечания

По определению точки $x_{m}$ и $x_{M}$ являются точками глобального минимума и максимума соответственно. Таким образом непрерывная на отрезке функция достигает на нём своего минимума и максимума.
В предположениях теоремы отрезок нельзя заменить на открытый интервал. Например, функция тангенс
$\mathrm {tg} \colon \left(-{\frac {\pi }{2}},\;{\frac {\pi }{2}}\right)\to \mathbb {R}$

непрерывна в каждой точке области определения, но не ограничена.

Иногда (в учебных курсах) два утверждения (об ограниченности и достижимости границ) разделяются на две теоремы Вейерштрасса — первую и вторую соответственно^[1].

Обобщение для полунепрерывных функций

Пусть функция $f\colon [a,\;b]\to \mathbb {R}$ ограничена и полунепрерывна сверху. Тогда
$M=\sup \limits _{x\in [a,\;b]}f(x)<+\infty$ и $\exists x_{M}\in [a,\;b]\colon f(x_{M})=M.$
Пусть функция $f\colon [a,\;b]\to \mathbb {R}$ ограничена и полунепрерывна снизу. Тогда
$m=\inf \limits _{x\in [a,\;b]}f(x)>-\infty$ и $\exists x_{m}\in [a,\;b]\colon f(x_{m})=m.$

Доказательство в общем случае

Пусть $A$ - компакт и функция $f$ непрерывна на $A$ . Рассмотрим совокупность множеств $V_{n}=f^{-1}((-n,n))$ , где $(-n,n)\subset \mathbb {R}$ - открытый интервал. Эти множества суть открытые (как полные прообразы открытого множества при непрерывном отображении), и очевидно, образуют покрытие $A$ . По определению компакта из этого покрытия можно выделить конечное подпокрытие $V_{n_{k}}$ , откуда имеем $\forall x\in A:f(x)<\max n_{k}$ , ограниченность доказана. Достижение максимума и минимума легко доказать от противного, если рассмотреть функции $[f(x)-\sup f(A)]^{-1}$ , $[f(x)-\inf f(A)]^{-1}$ , и применить к ним только что доказанное утверждение.