Параллелограмм
Параллелогра́мм (др.-греч. παραλληλόγραμμον от παράλληλος — параллельный и γραμμή — линия) — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.
Свойства
- Противоположные стороны параллелограмма равны.
- Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам.
- .
- Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°( по свойству параллельных прямых).
- Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.
- Сумма всех углов равна 360°( сумма углов многоугольника = 180( n - 2), где n кол-во углов).
- Если в параллелограмм можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны[1].
- (Тождество параллелограмма) Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон: пусть а — длина стороны AB, b — длина стороны BC, и — длины диагоналей; тогда
- Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.
Признаки параллелограмма
Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий:
- Противоположные стороны попарно равны и параллельны: .
- Противоположные углы попарно равны: .
- Диагонали делятся в точке их пересечения пополам: .
- Сумма соседних углов равна 180 градусов: .
- Сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырехугольника равна его полупериметру.
- Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон параллелограмма:
Площадь параллелограмма
- , где — сторона, — высота, проведенная к этой стороне.
- , где и — стороны, а — угол между сторонами a и b.
- , где и - диагонали, - острый угол при их пересечении.
См. также
Примечания
- ↑ Следует из свойства окружности вписанной в четырехугольник.
Для улучшения этой статьи желательно:
|