Парабола

Парабола, её фокус и директриса
Коническое сечение:
Эксцентриситет:	$~\textstyle e=1$
Уравнение:	$~\textstyle y^{2}=2px$
гипербола Шаблон:·w парабола Шаблон:·w эллипс Шаблон:·w окружность

Пара́бола (греч. παραβολή — приложение) — геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).

Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением. Она может быть определена как коническое сечение с единичным эксцентриситетом.

Изображение конического сечения, являющегося параболой

Построение параболы как конического сечения

Уравнения

Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:

$~\textstyle y^{2}=2px,p>0$ (или $~\textstyle x^{2}=2py$, если поменять местами оси).

Число p называется фокальным параметром, оно равно расстоянию от фокуса до директрисы. Поскольку каждая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы, то и вершина — тоже, поэтому она лежит между фокусом и директрисой на расстоянии ${\frac {p}{2}}$ от обоих.

Вывод

Уравнение директрисы $~PQ$: $~\textstyle x+{\frac {p}{2}}=0$, фокус — $~\textstyle F\left({\frac {p}{2}};0\right)$, таким образом начало координат $~O$ — середина отрезка $~CF$. По определению параболы для любой точки $~M$, лежащей на ней выполняется равенство $~KM=FM$. $~\textstyle KM=KD+DM={\frac {p}{2}}+x$ и $~\textstyle FM={\sqrt {\left(x-{\frac {p}{2}}\right)^{2}+y^{2}}}$, тогда равенство приобретает вид: $~{\sqrt {\left(x-{\frac {p}{2}}\right)^{2}+y^{2}}}={\frac {p}{2}}+x$. После возведения в квадрат и некоторых преобразований получается равносильное уравнение $~y^{2}=2px$.

Квадратное уравнение $~y=ax^{2}+bx+c$ при $~a\neq 0$ также представляет собой параболу и графически изображается той же параболой, что и $~y=ax^{2}$, но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке $~A$, координаты которой вычисляются по формулам:

$~x_{A}=-{\frac {b}{2a}},\;y_{A}=-{\frac {D}{4a}},$ где $D=b^{2}-4ac$ — дискриминант

Ось её симметрии проходит через вершину параллельно оси ординат, при a>0 (a<0) фокус лежит на этой оси над (под) вершиной на расстоянии 1/4a, а директриса — под (над) вершиной на таком же расстоянии и параллельна оси абсцисс. Уравнение $~y=ax^{2}+bx+c$ может быть представлено в виде $~y=a(x-x_{A})^{2}+y_{A}$, а в случае переноса начала координат в точку $~A$ каноническим уравнением. Таким образом для каждого квадратного уравнения можно найти систему координат такую, что в этой системе оно представляется каноническим. При этом $p={\frac {1}{|2a|}}$.

Расчёт коэффициентов квадратного уравнения

Если для уравнения $~y=ax^{2}+bx+c$ известны координаты 3-х различных точек его графика $~(x_{1};y_{1})$, $~(x_{2};y_{2})$, $~(x_{3};y_{3})$, то его коэффициенты могут быть найдены так:

$a={\frac {y_{3}-{\tfrac {x_{3}(y_{2}-y_{1})+x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}}{x_{3}(x_{3}-x_{1}-x_{2})+x_{1}x_{2}}},\ \ b={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}-a(x_{1}+x_{2}),\ \ c={\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}+ax_{1}x_{2}$

Свойства

Расстояние от Pn до фокуса F такое же, как и от Pn до Qn (на директрисе L)

Длина линий F-Pn-Qn одинакова. Можно сказать, что, в отличие от эллипса, второй фокус у параболы — в бесконечности (см. также Шары Данделена)

• Парабола — кривая второго порядка.
• Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и вершину перпендикулярно директрисе.
• Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей.
• Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе.
• Парабола является антиподерой прямой.
• Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.

Связанные определения

• При вращении параболы вокруг оси симметрии получается эллиптический параболоид.

Параболы в физическом пространстве

Параболический компас Леонардо да Винчи

Траектории некоторых космических тел (комет, астероидов и других), проходящих вблизи звезды или другого массивного объекта (звезды или планеты) на достаточно большой скорости имеют форму параболы (или гиперболы). Эти тела вследствие своей большой скорости не захватываются гравитационным полем звезды и продолжают свободный полёт. Это явление используется для гравитационных манёвров космических кораблей (в частности аппаратов Вояджер).

Для создания невесомости в земных условиях проводятся полёты самолётов по параболической траектории, так называемой параболе Кеплера.

При отсутствии сопротивления воздуха траектория полёта тела в приближении однородного гравитационного поля представляет собой параболу.

Также параболические зеркала используются в любительских переносных телескопах систем Кассергена, Шмидта — Кассергена, Ньютона, а в фокусе параболы устанавливают вспомогательные зеркала, подающие изображение на окуляр.

При вращении сосуда с жидкостью вокруг вертикальной оси поверхность жидкости в сосуде и вертикальная плоскость пересекаются по параболе.

Свойство параболы фокусировать пучок лучей, параллельных оси параболы, используется в конструкциях прожекторов, фонарей, фар, а также телескопов-рефлекторов (оптических, инфракрасных, радио…), в конструкции узконаправленных (спутниковых и других) антенн, необходимых для передачи данных на большие расстояния, солнечных электростанций и в других областях.

Форма параболы иногда используется в архитектуре для строительства крыш и куполов.

• 
  Параболическая орбита и движение спутника по ней (анимация)
• 
  Падение баскетбольного мяча
• 
  Параболическая солнечная электростанция в Калифорнии, США
• 
  Параболические траектории струй воды
• 
  Вращающийся сосуд с жидкостью

См. также

• Кубическая парабола
• Конические сечения:
  • Эллипс
  • Гипербола
  • Окружность
• Шары Данделена
• Цепная линия
• Каустика
• Телескоп

Литература

• Бронштейн И. Парабола // Квант. — 1975. — № 4. — С. 9-16.
• Математическая энциклопедия (в 5-и томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982.
• Маркушевич А. И. Замечательные кривые. — Гостехиздат, 1952. — 32 с. — (Популярные лекции по математике, выпуск 4).
• А. А. Акопян, А. В. Заславский. Геометрические свойства кривых второго порядка. — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.

Ссылки

• Статья в справочнике «Прикладная математика».
• Анимированные рисунки, иллюстрирующие некоторые свойства параболы.
• Информация (англ.) о связи параболы с физикой.
• Учебный фильм о параболе