Кривая погони

Кривая погони при различных параметрах

Простая кривая погони

Кривая погони — кривая, представляющая собой решение задачи о «погоне», которая ставится следующим образом. Пусть точка $M$ равномерно движется по некоторой заданной кривой. Требуется найти траекторию равномерного движения точки $N$ такую, что касательная, проведённая к траектории в любой момент движения, проходила бы через соответствующее этому моменту положение точки $M$.

История

Задача о кривой погони поставлена Леонардо да Винчи и решена Бугером в 1732 году.

Общий случай постановки задачи

Чтобы вывести уравнение линии, выберем системы координат, в которой ось абсцисс проходит через начальное положение точек $P$ и $A$, и точка $A$ находится в начале системы координат xAy. Отношение постоянных скоростей точек обозначим через k.

Если допустить, что за бесконечно малый промежуток времени точка $P$ прошла расстояние $dS$, а точка $A$ — расстояние $dS_{1}$, то , согласно поставленному выше условию, получим соотношение $dS=kdS_{1}$, или

${\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=k{\sqrt {d\xi ^{2}+d\eta ^{2}}}.$ (1)

Далее следует выразить $d\xi$ и $d\eta$ через x, y и их дифференциалы. По условию, координаты точки $P$ должны удовлетворять уравнению касательной к искомой кривой, то есть

$\eta -y={\frac {dy}{dx}}(\xi -x).$

Добавляя к этосу уравнению заданное условием уравнение траектории $F(\xi ,\eta )$ движения «убегающего», можно определить из полученной системы уравнения $\xi$ и $\eta$. После подстановки этих значений в дифференциальное уравнение (1) оно запишется в виде

$\Phi \left(x,y,{\frac {dy}{dx}},{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\right)=0$.

Постоянные интегрирования могут быть найдены из начальных условий ($y=0;y'=0$ при $x=0$).

В общем случае для произвольно заданной кривой $F(\xi ,\eta )$ найти решение полученного уравнения достаточно сложно. Задача существенно упрощается, если рассмотреть простейший случай, когда траектория "убегающего" является прямой.

Простая кривая погони

Простая кривая погони получается в простом случае, когда преследуемая точка движется по прямой линии. Впервые её описал Пьер Бугер в 1732 году. Позднее Пьер Луи де Мопертюи рассмотрел кривую погони для других случаев.

Определение

Пусть $A_{0}$ точка старта объекта преследования, а $P_{0}$ — стартовая точка преследователя. Пусть точка $A$ движется равномерно со скоростью $V=const$ в каком-нибудь определённом направлении, а точка $P$ движется со скоростью $W=const$, всегда направленной к точке $A$. Траектория точки $P$ является простой кривой погони.

Уравнение в декартовых координатах

Пусть $k={\tfrac {V}{W}}$

Пусть $A_{0}=(0,0),P_{0}=(1,0),$ и точка A движется вдоль оси y. Тогда

$y(x)={1 \over 2}\left({{1-x^{(1-k)}} \over (1-k)}-{{1-x^{(1+k)}} \over {(1+k)}}\right)$ для $k\neq 1$

$y(x)={1 \over 4}\cdot \left({x^{2}}-\ln {x^{2}}-1\right)$ для $k=1\;$

Свойства

При k > 1 линия погони пересечёт прямую движения «убегающего» и точка P действительно настигнет точку A.

При k ≤ 1 линия погони асимптотически приближается к прямой движения «убегающего» и точка P не настигнет точку A.

При рациональном значении k ≠ 1 линия погони является алгебраической кривой. При k = 1 и при k иррациональном кривая погони становится трансцендентной кривой.

При k = 1 (при одинаковых значениях скоростей «преследователя» и «убегающего») кривая погони преобразуется в трактрису.

Практическое применение

Задача построения кривой погони впервые встала при выборе курса судна с учётом внешних факторов (боковых ветров, течения) для оптимального достижения точки цели путешествия.

Вновь эта проблема возникла при использовании в военных целях подводных лодок, торпед, а позднее и управляемых ракет с целью достижения и поражения движущихся целей. Кроме того, кривая погони применяется в космической навигации.

Вариации и обобщения

• В более широком понимании равномерности движения точки $N$ не требуется, и именно в таком понимании является кривой погони Трактриса.