Теорема Стокса

Теорема Стокса — одна из основных теорем дифференциальной геометрии и математического анализа об интегрировании дифференциальных форм, которая обобщает несколько теорем анализа. Названа в честь Дж. Г. Стокса.

Общая формулировка

Пусть на ориентируемом многообразии M размерности n заданы ориентируемое p-мерное подмногообразие σ и дифференциальная форма ω степени p−1 класса C¹ ($1\leq p\leq n$). Тогда если граница подмногообразия ∂σ положительно ориентирована, то

$\int _{\sigma }d\omega =\int _{\partial \sigma }\omega ,$

где dω обозначает внешнюю производную формы ω.

Теорема распространяется на линейные комбинации подмногообразий одной размерности, так называемые цепи. В этом случае формула Стокса реализует двойственность между когомологией де Рама и гомологией циклов многообразия M.

Частные случаи

Формула Ньютона — Лейбница

Пусть дана кривая l, соединяющая две точки a и b (одномерная цепь) в многообразии произвольной размерности. Форма ω нулевой степени класса C¹ — это дифференцируемая функция f. Формула Стокса тогда записывается в виде

$\int _{l}df=\int _{l}f'\,dx=\int _{a}^{b}f=f(b)-f(a).$

Формула Грина

Пусть M — плоскость, а D — некоторая её ограниченная область с кусочно-гладкой жордановой границей. Форма первой степени, записанная в координатах x и y, — это выражение f₁dx+f₂dy, и для интеграла этой формы по границе области D верно

$\int _{\partial D}f_{1}dx+f_{2}dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}-{\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}\right)dx\wedge dy.$

Формула Стокса (в узком смысле), или формула Кельвина-Стокса

Пусть Σ — кусочно-гладкая поверхность (p = 2) в трёхмерном евклидовом пространстве (n = 3), F — дифференцируемое векторное поле. Тогда циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура ∂Σ равна потоку ротора (вихря) поля через поверхность Σ, ограниченную контуром:

$\int _{\Sigma }\operatorname {rot} \,\mathbf {F} \,\mathbf {d\Sigma } =\int _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \,d\mathbf {r} ,$

или в координатной )\,dxdy=\int_{\partial\Sigma}P\,dx+Q\,dy+R\,dz.</math>

Формула Остроградского

Пусть теперь ∂V — кусочно-гладкая гиперповерхность (p = n−1), ограничивающая некоторую область V в n-мерном пространстве. Тогда интеграл дивергенции поля по области равна потоку поля через границу области ∂V:

$\int _{V}\operatorname {div} \,\mathbf {F} \,dV=\int _{\partial V}\mathbf {F} \,\mathbf {d\Sigma } .$

(см.тж. статью Формула Остроградского)

Литература

• Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.3. М.: «Наука», 1966.
• Арнольд В.И. Математические методы классической механики (djvu)
• Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. М.: Мир, 1971 (djvu)

См. также

• Векторный анализ
• Дифференциальная форма
• Формулы векторного анализа
• Дифференциальная геометрия и топология