Дивергенция

Дивергенция (от лат. divergere - обнаруживать расхождение) — дифференциальный оператор, отображающий векторном поле в скалярное (т.е. дифференциальный оператор, которым можно действовать на векторное поле, получая в результате этого действия поле скалярное), который определяет (для каждой точки), "насколько расходится входящее и исходящее из малой окрестности данной точки поле" (точнее - насколько расходятся входящий и исходящий поток).

Это филологическое определение, призванное объяснить этимологию термина, сокращается, если учесть, что поток и каждый элемент потока имеет знак и поэтому нет необходимости учитывать входящий и исходящий потоки поотдельности, всё будет автоматически учтено при суммировании с учетом знака. Поэтому, учитывая это, и уже удаляясь от этимологии, можно дать более короткое определение дивергенции:

дивергенция - это дифференциальный оператор на векторном поле, характеризующий поток данного поля через поверхность малой окрестности каждой внутренней точки области определения поля.

• Оператор дивергенции, примененный к полю $\ \mathbf {F}$, обозначают как

$\ \operatorname {div} \mathbf {F}$

или

$\ \nabla \cdot \mathbf {F}$

(смысл второго обозначения - см. ниже).

Определение

Определение дивергенции выглядит так:

$\operatorname {div} \,\mathbf {F} =\lim _{S\rightarrow 0}{{\mathit {\Phi }}_{\ \mathbf {F} } \over V}$

где Ф_F — поток векторного поля F через сферическую поверхность площадью S, ограничивающую объем V. Еще более общим, а потому удобным в применении является это определение, когда форма области с поверхностью S и объемом V допускается любой, единственным требованием является ее нахождение ынутри сферы радиусом стремящимся к нулю. Это определение, в отличие от приводимого ниже, не привязано к определенным координатам, например, к декартовым, что может представлять дополнительное удобство в определенных случаях.

Определение в декартовых координатах

Допустим, что векторное поле дифференцируемо в некоторой области. Тогда в трёхмерном декартовом пространстве дивергенция будет определяться выражением

$\operatorname {div} \,\mathbf {F} ={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}$

Это же выражение можно записать с использованием оператора набла

$\operatorname {div} \,\mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F}$

Многомерная, а также двумерная и одномерная, дивергенция определяется совершенно аналогично.

Физическая интерпретация

С точки зрения физики, дивергенция векторного поля является показателем того, в какой степени данная точка пространства является источником или стоком этого поля. $\operatorname {div} \,\mathbf {F} >0$ точка поля является источником
$\operatorname {div} \,\mathbf {F} <0$ точка поля является стоком
$\operatorname {div} \,\mathbf {F} =0$ стоков и источников нет, либо они компенсируют друг друга

Например, если в качестве векторного поля взять совокупность направлений наискорейшего спуска на земной поверхности, то дивергенция покажет местоположение вершин и впадин, причём на вершинах дивергенция будет положительна (направления спуска расходятся от вершин), а на впадинах отрицательная (ко впадинам направления спуска сходятся).

Еще одним, быть может, несколько схематическим, примером может служить озеро (для простоты - постоянной единичной глубины со всюду горизонтальной скоростью течения воды, не зависящей от глубины, давая, таким образом двумерное векторное поле на двумерном пространстве). Если угодно рассмотреть более реалистическую картину, то можно рассмотреть горизонтальную проекцию скорости, проинтегрированную по вертикальной пространственной координате, что даст ту же картину двумерного вектроного поля на двумерном пространстве, причем картина качественно будет для наших целей не сильно отличаться от упрощенной первой, количественно же являться ее обобщением (весьма реалистическим). В такой модели (и в первом, и во втором варианте) родники, бьющие из дна озера будут давать положительную дивергенцию поля скоростей течения, а подводные стоки (пещеры, куда вода утекает) - отрицательную дивергенцию.

Дивергенция вектора плотности тока дает минус скорость накопления заряда в обычной трехмерной физике (т.к. заряд сохраняется, т.е. не исчезает и не появляется, а может только переместиться через границы какого-то объема, чтобы накопиться в нем или уйти из него; а если и появляются где-то положительные и отрицательные заряды - то только в равных количествах).

Свойства

Следующие свойства могут быть получены из обычных правил дифференцирования.

• Линейность

$\operatorname {div} (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\;\operatorname {div} (\mathbf {F} )+b\;\operatorname {div} (\mathbf {G} )$

для любых векторных полей F и G и для всех действительных чисел a и b.

• Если φ — скалярное поле, а F — векторное, тогда:

$\operatorname {div} (\varphi \mathbf {F} )=\operatorname {grad} (\varphi )\cdot \mathbf {F} +\varphi \;\operatorname {div} (\mathbf {F} ),$

или

$\nabla \cdot (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\cdot \mathbf {F} +\varphi \;(\nabla \cdot \mathbf {F} ).$

• Свойство, связывающее векторные поля F и G, заданные в трехмерном пространстве, с ротором:

$\operatorname {div} (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=\operatorname {rot} (\mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} \;-\;\mathbf {F} \cdot \operatorname {rot} (\mathbf {G} ),$

или

$\nabla \cdot (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot (\nabla \times \mathbf {G} ).$

• Дивергенция от градиента есть лапласиан:

$\operatorname {div} (\operatorname {grad} (\varphi ))={\mathcal {4}}\varphi$

• Дивергенция от ротора:

$\operatorname {div} (\operatorname {rot} (\mathbf {F} ))=0$

Дивергенция в ортогональных криволинейных координатах

$\operatorname {div} (\mathbf {A} )=\operatorname {div} (\mathbf {q_{1}} A_{1}+\mathbf {q_{2}} A_{2}+\mathbf {q_{3}} A_{3})={\frac {1}{H_{1}H_{2}H_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}(A_{1}H_{2}H_{3})+{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(A_{2}H_{3}H_{1})+{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(A_{3}H_{1}H_{2})\right]$, где H_i — коэффициенты Ламе.

Цилиндрические координаты

Коэффициенты Ламе:

${\begin{matrix}H_{1}=1\\H_{2}=r\\H_{3}=1\end{matrix}}$.

Отсюда:

$\operatorname {div} \mathbf {A} (r,\theta ,z)={\frac {1}{r}}\left[{\frac {\partial }{\partial r}}(A_{1}r)+{\frac {\partial }{\partial \theta }}(A_{2})+{\frac {\partial }{\partial z}}(A_{3}r)\right]$

Сферические координаты

Коэффициенты Ламе:

${\begin{matrix}H_{1}=1\\H_{2}=r\\H_{3}=r\sin {\theta }\end{matrix}}$.

Отсюда:

$\operatorname {div} \mathbf {A} (r,\theta ,\phi )={\frac {1}{r^{2}\sin {\theta }}}\left[{\frac {\partial }{\partial r}}(A_{1}r^{2}\sin {\theta })+{\frac {\partial }{\partial \theta }}(A_{2}r\sin {\theta })+{\frac {\partial }{\partial \phi }}(A_{3}r)\right]$

См. также

• Векторный анализ
• Теорема Остроградского — Гаусса
• Ротор
• Градиент
• Оператор набла
• Лапласиан
• Формулы векторного анализа