Градиент

Градиент (от лат. gradiens, род. падеж gradientis — шагающий) — характеристика, показывающая направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой. Например, если взять высоту поверхности Земли над уровнем моря (2-мерное пространство), то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «в горку».

Как видно из объяснения, градиент является векторной функцией, а величина, которую он характеризует — функцией скалярной.

Формально, для случая трёхмерного пространства, градиентом называется векторная функция с компонентами ${\frac {\partial \phi }{\partial x}}$ , ${\frac {\partial \phi }{\partial y}}$ , ${\frac {\partial \phi }{\partial z}}$ , где φ — некоторая скалярная функция координат x, y, z.

Если $\phi$ — функция n переменных $x_{1},\ldots ,x_{n}$ , то её градиентом будет n-мерный вектор

\left({\frac {\partial \phi }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial \phi }{\partial x_{n}}}\right)

,

компоненты которого равны частным производным $\phi$ по всем её аргументам.

Градиент обозначается $\mathrm {grad} \phi$ или, с использованием оператора набла, $\nabla \phi$ .

Из определения градиента следует, что:

$\mathrm {grad} \phi =\nabla \phi ={\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\vec {e}}_{x}+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}{\vec {e}}_{y}+{\frac {\partial \phi }{\partial z}}{\vec {e}}_{z}$

Смысл градиента любой скалярной функции f в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения dx дает полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена f, дает ее полный дифференциал, т.е. линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения f при смещении на dx. Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать:

$df={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}dx_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}dx_{2}+{\frac {\partial f}{\partial x_{3}}}dx_{3}+...=\sum _{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}dx_{i}=(\mathbf {grad} f\cdot d\mathbf {x} )$

Стоит здесь заметить, что поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат x_i, т.е. от природы параметров x вообще, то полученный дифференциал является инвариантом, т.е. скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку dx - это вектор, то градиент, вычисленный обычным образом, оказывается ковариантным вектором, т.е. вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного), т.е. вектором, записанным в обычном базисе. Таким образом, выражение (вообще говоря - для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как:

$df=\sum _{i}(\partial _{i}f)dx^{i}$

или, опуская по правилу Эйнштейна знак суммы,

$df=(\partial _{i}f)dx^{i}$

(в ортонормированном базисе мы можем писать все индексы нижними, как мы и делали выше). Однако градиент оказывается настоящим ковариантным вектором в любых криволинейных координатах.

Свойства

Для любого постоянного числа $c\in \mathbb {R}$ и скалярных полей ${\vec {u}},{\vec {v}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ справедливо следующее:

$\operatorname {grad} \,c={\vec {0}}$

Линейность

$\operatorname {grad} \,(c\cdot {\vec {u}})=c\cdot \operatorname {grad} \,{\vec {u}}$
$\operatorname {grad} \,({\vec {u}}+{\vec {v}})=\operatorname {grad} \,{\vec {u}}+\operatorname {grad} \,{\vec {v}}$

Правило Лейбница

$\operatorname {grad} \,({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})={\vec {u}}\cdot \operatorname {grad} \,{\vec {v}}+{\vec {v}}\cdot \operatorname {grad} \,{\vec {u}}$ , где ${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}$ — скалярное произведение векторов ${\vec {u}}$ и ${\vec {v}}$ .

Пример

Например, градиент функции $\phi (x,y,z)=2x+3y^{2}-sin(z)$ будет представлять собой:

\nabla \phi ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \phi }{\partial x}},{\frac {\partial \phi }{\partial y}},{\frac {\partial \phi }{\partial z}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{2},{6y},{-cos(z)}\end{pmatrix}}

В физике

В различных отраслях физики используется понятие градиента различных физических полей.

Например, градиент концентрации — нарастание или уменьшение по какому-либо направлению концентрации растворённого вещества, градиент температуры - увеличение или уменьшение по направлению температуры среды и т.д.. Градиент может быть вызван различными причинами, например, механическим препятствием, действием электромагнитных, гравитационных или других полей или различием в растворяющей способности граничащих фаз, например, октанол/вода.

Геометрический смысл

Рассмотрим семейство линий уровня функции $\phi$ :

\displaystyle \gamma (h)=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid \phi (x_{1},\ldots ,x_{n})=h\}.

Нетрудно показать, что градиент функции $\varphi$ в точке ${\vec {x}}^{0}$ перпенидкулярен её линии уровня, проходящей через эту точку. Модуль градиента показывает максимальную скорость изменения функции в окрестности ${\vec {x}}^{0}$ , то есть частоту линий уровня. Например, линии уровня высоты изображаются на топографических картах, при этом модуль градиента показывает крутизну спуска или подъема в данной точке.

Связь с производной по направлению

Используя правило дифференцирования сложной функции, нетрудно показать, что производная функции $\phi$ по направлению ${\vec {e}}=(e_{1},\ldots ,e_{n})$ равняется скалярному произведению градиента $\phi$ на единичный вектор ${\vec {e}}$ :

{\frac {\partial \phi }{\partial {\vec {e}}}}={\frac {\partial \phi }{\partial x_{1}}}e_{1}+\cdots +{\frac {\partial \phi }{\partial x_{n}}}e_{n}=(\nabla \!\phi ,{\vec {e}})

Таким образом, для вычисления производной по любому направлению достаточно знать градиент функции, то есть набор всех её частных производных.