Зацепление Хопфа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Это старая версия этой страницы, сохранённая Jumpow (обсуждение | вклад) в 14:34, 25 мая 2015 (Перевод английской статьи "Hopf link"). Она может серьёзно отличаться от текущей версии.
(разн.) ← Предыдущая версия | Текущая версия (разн.) | Следующая версия → (разн.)
Перейти к навигации Перейти к поиску
Отпатрулированная версия этой страницы, проверенная 25 мая 2015, была основана на этой версии.
Зацепление Хопфа
Обозначение= L2a1
Число нитей = 2
Длина косы= 2
Число пересечений= 2
Коэффициент зацепления= 1
Гиперболический объём= 0
Класс= тор
Скейн-соотношение для зацепления Хопфа.

В теории узлов зацепление Хопфа — это простейшее нетривиальное зацепление с двумя и более компонентами [1]. Оно состоит из двух окружностей, зацеплённых однократно[2] и названо по имени Хайнца Хопфа[3].

Геометрическое представление

Конкретная модель состоит из двух единичных окружностей в перпендикулярных плоскостях и каждая проходит через центр другой [2]. Эта модель минимизирует длину верёвки[англ.] (длина верёвки – инвариант теории узлов) зацепления и до 2002 зацепление Хопфа было единственным, у которого длина верёвки была известна [4]. Выпуклая оболочка этих двух окружностей образует тело, называемое олоидом?![5].

Свойства

В зависимости от относительной ориентации[англ.] двух компонент коэффициент зацепления зацепления Хопфа равен ±1.[6].

Зацепления Хопфа является (2,2)-торическим зацеплением?![7] с описывающим словом[8]

Дополнение?! зацепления Хопфа — R × S1 × S1, цилиндр над тором[9]. Это пространство имеет локальную евклидову геометрию, так что зацепление Хопфа не является гиперболическим?!. Группа узлов[англ.] зацепления Хопфа (фундаментальная группа его дополнения) — это Z2 ( свободная абелева группа на двух генераторах) и она отличает зацепление Хопфа от двух незацеплённых окружностей, имеющих свободную группу на двух генераторах[10].

Зацепление Хопфа не раскрашиваемо в три цвета. Это легко видеть из факта, что зацепление можно раскрасить лишь в два цвета, что противоречит второй части определения раскраски. В каждом пересечении будет максимум 2 цвета, так что при раскраске мы нарушим требование иметь 1 или 3 цвета в каждом пересечении, либо нарушим требование иметь более 1 цвета.

Расслоение Хопфа

Расслоение Хопфа — это непрерывная функция из 3-сферы (трёхмерная поверхность в четырёхмерном евклидовом пространстве) в более привычную 2-сферу, имеющая свойство, что прообраз каждой точки на 2-сфере является окружностью. Таким образом происходит разложение 3-сферы на непрерывное семейство окружностей и каждые две различных таких окружности образуют зацепление Хопфа. Этот факт и побудил Хопфа заняться изучением зацеплений Хопфа — поскольку любые две нити зацеплены, расслоение Хопфа является нетривиальным расслоением[англ.]. С этого началось изучение групп гомотопий сфер[англ.][11].

История

Герб Бузан-ха[англ.]

Зацепление Хопфа названо именем тополога Хайнца Хопфа, исследовавшего это зацепление в 1931 как часть исследований по расслоению Хопфа[12]. Однако это зацепление знал ещё Гаусс до работы Хопфа[3]. Зацепление использовалось вне математики давно до этого, например, в качестве герба Бузан-ха[англ.], японской буддийской секты, основанной в 16-ом столетии.

Смотрите также

  • Катенаны, химические соединения с двумя механически сцеплёнными молекулами
  • Узел Соломона?!, два кольца с двойным зацеплением

Примечания

  1. ↑ Adams, 2004, с. 151.
  2. ↑ 1 2 Kusner, Sullivan, 1998, с. 67–78.
  3. ↑ 1 2 Прасолов, Сосинский, 1997, с. 12.
  4. ↑ Cantarella, Kusner, Sullivan, 2002, с. 257–286.
  5. ↑ Dirnböck, Stachel, 1997, с. 105–118.
  6. ↑ Adams, 2004.
  7. ↑ Kauffman, 1987, с. 373.
  8. ↑ Adams, 2004, с. 133, Exercise 5.22.
  9. ↑ Turaev, 2010, с. 194.
  10. ↑ Hatcher, 2002, с. 24.
  11. ↑ Shastri, 2013, с. 368.
  12. ↑ Hopf, 1931, с. 637–665.

Литература

  • Colin Conrad Adams. The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots. — American Mathematical Society, 2004. — ISBN 9780821836781.
  • Louis H. Kauffman. On Knots. — Princeton University Press, 1987. — Т. 115. — (Annals of Mathematics Studies). — ISBN 9780691084350.
  • Vladimir G. Turaev. Quantum Invariants of Knots and 3-manifolds. — Walter de Gruyter, 2010. — Т. 18. — (De Gruyter studies in mathematics). — ISBN 9783110221831.
  • Anant R. Shastri. Basic Algebraic Topology. — CRC Press, 2013. — ISBN 9781466562431.
  • Robert B. Kusner, John M. Sullivan. Topology and geometry in polymer science (Minneapolis, MN, 1996). — New York: Springer, 1998. — Т. 103. — (IMA Vol. Math. Appl.). — doi:10.1007/978-1-4612-1712-1_7.
  • Jason Cantarella, Robert B. Kusner, John M. Sullivan. On the minimum ropelength of knots and links // Inventiones Mathematicae. — 2002. — Т. 150, вып. 2. — doi:10.1007/s00222-002-0234-y. — arXiv:math/0103224.
  • Hans Dirnböck, Hellmuth Stachel (1997), "The development of the oloid" (PDF), Journal for Geometry and Graphics, vol. 1, MR 1622664 {{citation}}: Неизвестный параметр |выпуск= игнорируется (справка)
  • Allen Hatcher. Algebraic Topology. — 2002. — ISBN 9787302105886.
  • Heinz Hopf. Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche // Mathematische Annalen. — Berlin: Springer, 1931. — Т. 104, вып. 1. — doi:10.1007/BF01457962.
  • В. В. Прасолов, А.Б. Сосинский. Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия. — М.: МЦНМО, 1997. — ISBN 5-900916-10-3.

Внешние ссылки

Источник — https://ru.wikipedia.org/ruwiki/w/index.php?title=Зацепление_Хопфа&oldid=71015253